Guía de Matemáticas Parte IV: Geometría euclidiana

Capítulo 22

Circunferencia y círculo

IPN CENEVAL

La circunferencia y el círculo aparecen en numerosos problemas de longitudes, áreas y relaciones angulares. Aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados, no representan el mismo objeto: la circunferencia es una curva cerrada, mientras que el círculo incluye también la región interior. En este capítulo estudiarás sus elementos principales, las relaciones entre ángulos y arcos, las fórmulas de longitud y área, y las propiedades de las rectas tangentes.

22.1 Circunferencia y círculo#

Definición

La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo llamado centro.

La distancia constante entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se denomina radio.

Definición

El círculo es la región del plano formada por la circunferencia y todos sus puntos interiores.

Por tanto:

  • la circunferencia es el borde;
  • el círculo es la región completa, incluido el borde.
Advertencia

No deben confundirse la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

La longitud de la circunferencia se expresa en unidades lineales, como centímetros o metros. El área del círculo se expresa en unidades cuadradas, como centímetros cuadrados o metros cuadrados.

22.2 Elementos de una circunferencia#

Definición

Los principales elementos relacionados con una circunferencia son:

  • El centro es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de todos los puntos de la circunferencia.
  • Un radio es un segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
  • Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro. Su longitud es igual al doble del radio: \[d=2r.\]
  • Una cuerda es un segmento cuyos extremos pertenecen a la circunferencia.
  • Un arco es una porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
  • Una recta secante interseca la circunferencia en dos puntos distintos.
  • Una recta tangente tiene exactamente un punto en común con la circunferencia. Este punto se denomina punto de tangencia.
Nota

Todo diámetro es una cuerda, pero no toda cuerda es un diámetro. El diámetro es la cuerda de mayor longitud que puede trazarse en una circunferencia.

Los principales elementos pueden observarse en la siguiente figura:

Figura 22.1

22.3 Longitud de la circunferencia y área del círculo#

Teorema Fórmulas fundamentales

Para una circunferencia de radio \(r\) y diámetro \(d=2r\), su longitud es:

\[L=2\pi r.\]

También puede calcularse mediante:

\[L=\pi d.\]

El área del círculo correspondiente es:

\[A=\pi r^2.\]
Ejemplo 22.1

Encuentra la longitud de la circunferencia y el área del círculo de radio:

\[r=5\ \text{cm}.\]
Ver solución

Calculamos la longitud:

\[\begin{aligned} L &=2\pi r\\ &=2\pi(5)\\ &=10\pi\ \text{cm}. \end{aligned}\]

Utilizando \(\pi\approx3.1416\):

\[L\approx31.42\ \text{cm}.\]

Calculamos el área:

\[\begin{aligned} A &=\pi r^2\\ &=\pi(5)^2\\ &=25\pi\ \text{cm}^2. \end{aligned}\]

Aproximadamente:

\[A\approx78.54\ \text{cm}^2.\]
Ejemplo 22.2

El diámetro de una circunferencia mide:

\[12\ \text{cm}.\]

Encuentra su longitud.

Ver solución

Podemos utilizar directamente:

\[L=\pi d.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} L &=\pi(12)\\ &=12\pi\ \text{cm}. \end{aligned}\]

Aproximadamente:

\[L\approx37.70\ \text{cm}.\]
Nota

Cuando no se solicita una aproximación decimal, es preferible conservar el resultado exacto en términos de \(\pi\).

Por ejemplo:

\[L=12\pi\ \text{cm}\]

es un valor exacto, mientras que:

\[L\approx37.70\ \text{cm}\]

es una aproximación.

22.4 Arcos y ángulos centrales#

Definición

Un ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

Teorema Medida del arco

La medida en grados de un arco menor es igual a la medida de su ángulo central correspondiente.

Si:

\[m\angle AOB=\theta,\]

entonces:

\[m\widehat{AB}=\theta.\]
Figura 22.2

22.5 Ángulos inscritos#

Definición

Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados contienen cuerdas de la circunferencia.

Teorema Medida de un ángulo inscrito

La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco que intercepta:

\[m\angle APB = \frac{1}{2}m\widehat{AB}.\]

Si un ángulo central y un ángulo inscrito interceptan el mismo arco, entonces:

\[m\angle APB = \frac{1}{2}m\angle AOB.\]

La siguiente figura muestra un ángulo central y un ángulo inscrito que interceptan el mismo arco \(\widehat{AB}\):

Figura 22.3
Ejemplo 22.3

Un ángulo inscrito intercepta un arco de:

\[100^\circ.\]

¿Cuánto mide el ángulo?

Ver solución

Aplicamos el teorema del ángulo inscrito:

\[\begin{aligned} m\angle &=\frac{100^\circ}{2}\\ &=50^\circ. \end{aligned}\]

El ángulo inscrito mide:

\[50^\circ.\]
Ejemplo 22.4

Un ángulo central mide:

\[80^\circ.\]

¿Cuánto mide un ángulo inscrito que intercepta el mismo arco?

Ver solución

El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central:

\[\begin{aligned} m\angle_{\text{inscrito}} &=\frac{80^\circ}{2}\\ &=40^\circ. \end{aligned}\]

22.6 Ángulo inscrito en una semicircunferencia#

Teorema Teorema de Tales

Todo ángulo inscrito que intercepta un diámetro mide:

\[90^\circ.\]

De manera equivalente, todo triángulo inscrito en una semicircunferencia cuyo lado coincide con el diámetro es un triángulo rectángulo.

Figura 22.4
Nota

En la figura anterior, el vértice del ángulo recto es \(P\), que se encuentra sobre la semicircunferencia. El lado opuesto al ángulo recto es el diámetro \(\overline{AB}\).

22.7 Longitud de arco#

Teorema Longitud de un arco

Sea una circunferencia de radio \(r\). Si un arco corresponde a un ángulo central de \(\theta\) grados, su longitud es:

\[s = \frac{\theta}{360^\circ}(2\pi r).\]

De manera equivalente:

\[s = \frac{\pi r\theta}{180^\circ}.\]
Nota

La longitud del arco representa la fracción:

\[\frac{\theta}{360^\circ}\]

de la longitud total de la circunferencia.

Figura 22.5
Ejemplo 22.5

Encuentra la longitud de un arco de \(60^\circ\) en una circunferencia de radio:

\[6\ \text{cm}.\]
Ver solución

Aplicamos la fórmula:

\[\begin{aligned} s &= \frac{60^\circ}{360^\circ} \bigl(2\pi(6)\bigr)\\ &= \frac{1}{6}(12\pi)\\ &=2\pi\ \text{cm}. \end{aligned}\]

Aproximadamente:

\[s\approx6.28\ \text{cm}.\]

22.8 Sector circular#

Definición

Un sector circular es la región del círculo limitada por dos radios y el arco comprendido entre ellos.

Teorema Área de un sector circular

Si un sector de radio \(r\) corresponde a un ángulo central de \(\theta\) grados, su área es:

\[A_{\text{sector}} = \frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2.\]
Figura 22.6
Ejemplo 22.6

Encuentra el área de un sector circular de radio:

\[4\ \text{cm}\]

y ángulo central:

\[90^\circ.\]
Ver solución

Aplicamos la fórmula:

\[\begin{aligned} A_{\text{sector}} &= \frac{90^\circ}{360^\circ}\pi(4)^2\\ &= \frac{1}{4}(16\pi)\\ &=4\pi\ \text{cm}^2. \end{aligned}\]

Aproximadamente:

\[A_{\text{sector}} \approx12.57\ \text{cm}^2.\]

22.9 Rectas tangentes#

Teorema Radio y recta tangente

El radio trazado hasta el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

Si \(T\) es el punto de tangencia, entonces:

\[\overline{OT}\perp t.\]
Teorema Segmentos tangentes desde un punto exterior

Si desde un mismo punto exterior \(P\) se trazan dos segmentos tangentes a una circunferencia y sus puntos de tangencia son \(A\) y \(B\), entonces:

\[PA=PB.\]
Figura 22.7
Ejemplo 22.7

El radio de una circunferencia mide \(10\ \text{cm}\). Desde un punto exterior \(P\) se traza un segmento tangente, y la distancia entre \(P\) y el centro es:

\[OP=26\ \text{cm}.\]

Encuentra la longitud del segmento tangente.

Ver solución

Sea \(T\) el punto de tangencia. Como el radio \(\overline{OT}\) es perpendicular a la tangente \(\overline{PT}\), el triángulo \(\triangle OPT\) es rectángulo.

La hipotenusa mide:

\[OP=26\ \text{cm},\]

y uno de los catetos mide:

\[OT=10\ \text{cm}.\]

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

\[\begin{aligned} OP^2 &=OT^2+PT^2,\\ 26^2 &=10^2+PT^2,\\ 676 &=100+PT^2,\\ PT^2 &=576,\\ PT &=24. \end{aligned}\]

El segmento tangente mide:

\[24\ \text{cm}.\]

22.10 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 22.1

Encuentra la longitud de la circunferencia y el área del círculo de radio:

\[7\ \text{cm}.\]
Ver solución
\[L = 2\pi(7) = 14\pi \approx 44 \text{ cm}, \quad A = \pi(7)^2 = 49\pi \approx 154 \text{ cm}^2.\]
Ejercicio 22.2

El diámetro de una circunferencia mide:

\[20\ \text{cm}.\]

Encuentra su longitud.

Ver solución

\(r = 10\) cm. \[L = 2\pi(10) = 20\pi \approx 62.8 \text{ cm}.\]

Ejercicio 22.3

Encuentra el radio de un círculo cuya área es:

\[36\pi\ \text{cm}^2.\]
Ver solución

\(\pi r^2 = 36\pi\), entonces \(r^2 = 36\), \(r = 6\) cm.

Ejercicio 22.4

Un ángulo inscrito intercepta un arco de:

\[140^\circ.\]

¿Cuánto mide el ángulo?

Ver solución
\[\angle = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ.\]
Ejercicio 22.5

Un ángulo central mide:

\[120^\circ.\]

¿Cuánto mide un ángulo inscrito que intercepta el mismo arco?

Ver solución
\[\angle = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.\]
Ejercicio 22.6

Encuentra la longitud de un arco de \(90^\circ\) en una circunferencia de radio:

\[8\ \text{cm}.\]
Ver solución
\[S = \frac{2\pi(8) \cdot 90^\circ}{360^\circ} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi \approx 12.6 \text{ cm}.\]
Ejercicio 22.7

Encuentra el área de un sector circular de radio:

\[6\ \text{cm}\]

y ángulo central:

\[120^\circ.\]
Ver solución
\[A = \frac{\pi(6)^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{36\pi}{3} = 12\pi \approx 37.7 \text{ cm}^2.\]
Ejercicio 22.8

El radio de una circunferencia mide \(8\ \text{cm}\). Desde un punto exterior \(P\) se traza un segmento tangente. Si la distancia de \(P\) al centro es:

\[17\ \text{cm},\]

¿cuánto mide el segmento tangente?

Ver solución
\[t^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 \Longrightarrow t = 15 \text{ cm}.\]
Ejercicio 22.9

Un triángulo está inscrito en una semicircunferencia y uno de sus lados coincide con el diámetro. ¿Dónde se encuentra el vértice del ángulo recto?

Ver solución

El vértice del ángulo recto está sobre la circunferencia (es el punto donde el ángulo inscrito subtiende el diámetro).