Capítulo 24

Medida de ángulos

UNAMIPNCENEVAL

Antes de estudiar las razones trigonométricas, es necesario conocer las principales unidades utilizadas para medir ángulos. El sistema sexagesimal expresa las medidas en grados, minutos y segundos, mientras que el sistema circular utiliza radianes. En este capítulo aprenderás a interpretar ambas unidades, convertir entre ellas y reconocer las equivalencias de los ángulos notables.

24.1 Concepto de ángulo#

Definición

Un ángulo es la figura formada por dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.

Las semirrectas se denominan lados del ángulo y su origen común recibe el nombre de vértice.

Definición

Un ángulo puede denotarse mediante tres letras:

\[\angle AOB,\]

donde la letra central \(O\) representa el vértice.

También puede representarse mediante una letra griega, como:

\[\alpha, \qquad \beta, \qquad \theta.\]

Los elementos de un ángulo pueden identificarse en la siguiente figura:

Definición

Cuando se considera el sentido de giro, se utiliza la noción de ángulo orientado:

un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj se considera positivo;
un giro en el sentido de las manecillas del reloj se considera negativo.

Los sentidos positivo y negativo pueden representarse de la siguiente manera:

24.2 Sistema sexagesimal#

Definición

En el sistema sexagesimal, una vuelta completa se divide en \(360\) partes iguales. Cada una de estas partes se denomina grado y se representa mediante el símbolo:

\[{}^\circ.\]

Por tanto:

\[1\text{ vuelta} = 360^\circ.\]

Definición

Cada grado se divide en \(60\) partes iguales llamadas minutos de arco, y cada minuto se divide en \(60\) partes iguales llamadas segundos de arco.

Se utilizan las equivalencias:

\[1^\circ=60',\]

\[1'=60'',\]

y, por tanto:

\[1^\circ=3600''.\]

Advertencia

Los minutos y segundos utilizados para medir ángulos no representan unidades de tiempo. Aunque emplean los mismos nombres, en este contexto representan fracciones de un grado.

Teorema Ángulos fundamentales en grados

Las siguientes medidas corresponden a fracciones de una vuelta:

un cuarto de vuelta: \[90^\circ;\]
media vuelta: \[180^\circ;\]
tres cuartos de vuelta: \[270^\circ;\]
una vuelta completa: \[360^\circ.\]

24.3 Grados decimales y grados, minutos y segundos#

Una medida angular puede expresarse mediante grados decimales o mediante grados, minutos y segundos.

Para convertir minutos a grados se divide entre \(60\). Para convertir segundos a grados se divide entre \(3600\):

\[D^\circ M'S'' = \left( D+\frac{M}{60}+\frac{S}{3600} \right)^\circ.\]

Ejemplo 24.1

Convierte:

\[35^\circ24'\]

a grados decimales.

Ver solución

Como:

\[1'=\frac{1}{60}^\circ,\]

se tiene:

\[\begin{aligned} 35^\circ24' &=35^\circ+\frac{24}{60}^\circ\\ &=35^\circ+0.4^\circ\\ &=35.4^\circ. \end{aligned}\]

Ejemplo 24.2

Convierte:

\[42.75^\circ\]

a grados y minutos.

Ver solución

La parte entera corresponde a los grados:

\[42^\circ.\]

Convertimos la parte decimal a minutos:

\[\begin{aligned} 0.75(60') &=45'. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[42.75^\circ = 42^\circ45'.\]

Ejemplo 24.3

Convierte:

\[18^\circ15'30''\]

a grados decimales.

Ver solución

Aplicamos la fórmula:

\[\begin{aligned} 18^\circ15'30'' &= \left( 18+\frac{15}{60}+\frac{30}{3600} \right)^\circ\\ &= \left( 18+0.25+0.0083\overline{3} \right)^\circ\\ &= 18.2583\overline{3}^\circ. \end{aligned}\]

24.4 Sistema circular#

Definición

Un radián es la medida del ángulo central que intercepta un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

La unidad puede indicarse mediante la abreviatura:

\[\mathrm{rad}.\]

La definición puede visualizarse en la siguiente figura. El radio y el arco destacado tienen la misma longitud:

Nota

Un radián mide aproximadamente:

\[1\ \mathrm{rad} \approx 57.2958^\circ.\]

El radián no depende del tamaño de la circunferencia. Si el radio aumenta, la longitud del arco correspondiente a un radián aumenta en la misma proporción.

24.5 Longitud de arco y medida en radianes#

Teorema Longitud de arco

Si un ángulo central mide \(\theta\) radianes en una circunferencia de radio \(r\), la longitud del arco correspondiente es:

\[s=r\theta.\]

De manera equivalente:

\[\theta=\frac{s}{r}.\]

Advertencia

La fórmula:

\[s=r\theta\]

se aplica directamente cuando \(\theta\) está expresado en radianes.

Si el ángulo está expresado en grados, primero debe convertirse a radianes o debe utilizarse:

\[s = \frac{\theta}{360^\circ}(2\pi r).\]

Ejemplo 24.4

Un ángulo central mide:

\[\frac{\pi}{3}\ \mathrm{rad}\]

en una circunferencia de radio:

\[6\ \text{cm}.\]

Encuentra la longitud del arco.

Ver solución

Aplicamos:

\[s=r\theta.\]

Entonces:

\[\begin{aligned} s &=6\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ &=2\pi\ \text{cm}. \end{aligned}\]

24.6 Equivalencia entre grados y radianes#

Teorema Equivalencia fundamental

Una vuelta completa equivale a:

\[360^\circ = 2\pi\ \mathrm{rad}.\]

Al dividir ambos miembros entre \(2\), se obtiene:

\[180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}.\]

De esta equivalencia se deduce:

\[1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad}\]

\[1\ \mathrm{rad} = \frac{180^\circ}{\pi}.\]

24.7 Conversión entre grados y radianes#

Teorema Conversión de grados a radianes

Para convertir una medida de grados a radianes, se multiplica por:

\[\frac{\pi\ \mathrm{rad}}{180^\circ}.\]

Por tanto:

\[\theta_{\mathrm{rad}} = \theta_{\mathrm{grados}} \left( \frac{\pi}{180^\circ} \right).\]

Teorema Conversión de radianes a grados

Para convertir una medida de radianes a grados, se multiplica por:

\[\frac{180^\circ}{\pi\ \mathrm{rad}}.\]

Por tanto:

\[\theta_{\mathrm{grados}} = \theta_{\mathrm{rad}} \left( \frac{180^\circ}{\pi} \right).\]

Nota

Los factores de conversión son iguales a \(1\), pues sus numeradores y denominadores representan la misma medida angular:

\[\frac{\pi\ \mathrm{rad}}{180^\circ}=1\]

\[\frac{180^\circ}{\pi\ \mathrm{rad}}=1.\]

Multiplicar por estos factores cambia la unidad, pero no cambia el ángulo.

Ejemplo 24.5

Convierte:

\[60^\circ\]

a radianes.

Ver solución

Multiplicamos por el factor de conversión:

\[\begin{aligned} 60^\circ \left( \frac{\pi}{180^\circ} \right) &= \frac{60\pi}{180}\\ &= \frac{\pi}{3}. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[60^\circ = \frac{\pi}{3}\ \mathrm{rad}.\]

Ejemplo 24.6

Convierte:

\[\frac{5\pi}{6}\ \mathrm{rad}\]

a grados.

Ver solución

Multiplicamos por el factor correspondiente:

\[\begin{aligned} \frac{5\pi}{6} \left( \frac{180^\circ}{\pi} \right) &= \frac{5(180^\circ)}{6}\\ &=150^\circ. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\frac{5\pi}{6}\ \mathrm{rad} = 150^\circ.\]

Ejemplo 24.7

Convierte:

\[45^\circ\]

a radianes.

Ver solución

\[\begin{aligned} 45^\circ \left( \frac{\pi}{180^\circ} \right) &= \frac{45\pi}{180}\\ &= \frac{\pi}{4}. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[45^\circ = \frac{\pi}{4}\ \mathrm{rad}.\]

Ejemplo 24.8

Convierte:

\[\frac{7\pi}{4}\ \mathrm{rad}\]

a grados.

Ver solución

\[\begin{aligned} \frac{7\pi}{4} \left( \frac{180^\circ}{\pi} \right) &= \frac{7(180^\circ)}{4}\\ &=315^\circ. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\frac{7\pi}{4}\ \mathrm{rad} = 315^\circ.\]

Ejemplo 24.9

Convierte:

\[36^\circ\]

a radianes.

Ver solución

\[\begin{aligned} 36^\circ \left( \frac{\pi}{180^\circ} \right) &= \frac{36\pi}{180}\\ &= \frac{\pi}{5}. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[36^\circ = \frac{\pi}{5}\ \mathrm{rad}.\]

24.8 Ángulos coterminales#

Definición

Dos ángulos son coterminales si, al colocarlos en posición estándar, tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final.

Sus medidas difieren en un número entero de vueltas completas.

Teorema Ángulos coterminales

Si \(\theta\) está expresado en grados, todos sus ángulos coterminales pueden escribirse como:

\[\theta+360^\circ k, \qquad k\in\Z.\]

Si \(\theta\) está expresado en radianes, se escriben como:

\[\theta+2\pi k, \qquad k\in\Z.\]

Ejemplo 24.10

Encuentra un ángulo positivo y uno negativo coterminales con:

\[45^\circ.\]

Ver solución

Sumamos una vuelta completa:

\[45^\circ+360^\circ = 405^\circ.\]

Restamos una vuelta completa:

\[45^\circ-360^\circ = -315^\circ.\]

Por tanto, dos ángulos coterminales son:

\[405^\circ \qquad\text{y}\qquad -315^\circ.\]

24.9 Ángulos notables#

Teorema Equivalencias fundamentales

Las equivalencias más utilizadas son:

\[\begin{aligned} 0^\circ &=0,\\ 30^\circ &=\frac{\pi}{6},\\ 45^\circ &=\frac{\pi}{4},\\ 60^\circ &=\frac{\pi}{3},\\ 90^\circ &=\frac{\pi}{2},\\ 120^\circ &=\frac{2\pi}{3},\\ 135^\circ &=\frac{3\pi}{4},\\ 150^\circ &=\frac{5\pi}{6},\\ 180^\circ &=\pi,\\ 210^\circ &=\frac{7\pi}{6},\\ 225^\circ &=\frac{5\pi}{4},\\ 240^\circ &=\frac{4\pi}{3},\\ 270^\circ &=\frac{3\pi}{2},\\ 300^\circ &=\frac{5\pi}{3},\\ 315^\circ &=\frac{7\pi}{4},\\ 330^\circ &=\frac{11\pi}{6},\\ 360^\circ &=2\pi. \end{aligned}\]

Nota

Para recordar estas equivalencias, puede comenzarse con:

\[180^\circ=\pi\]

y expresar cada ángulo como una fracción de \(180^\circ\).

Por ejemplo:

\[60^\circ = \frac{60}{180}\pi = \frac{\pi}{3}.\]

24.10 Representación de ángulos notables#

La siguiente circunferencia muestra las equivalencias principales en grados y radianes. Todos los ángulos se miden desde el eje positivo \(x\) en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Advertencia

El símbolo \(\pi\) no debe reemplazarse por una aproximación decimal durante una conversión exacta.

Por ejemplo, es preferible escribir:

\[60^\circ=\frac{\pi}{3}\]

en lugar de:

\[60^\circ\approx1.0472\ \mathrm{rad}.\]

La forma con \(\pi\) conserva el valor exacto.

24.11 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 24.1

Convierte a radianes:

\[30^\circ.\]

Ver solución

\[30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6}.\]

Ejercicio 24.2

Convierte a radianes:

\[90^\circ.\]

Ver solución

\[90^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{2}.\]

Ejercicio 24.3

Convierte a radianes:

\[210^\circ.\]

Ver solución

\[210^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{210\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}.\]

Ejercicio 24.4

Convierte a radianes:

\[15^\circ.\]

Ver solución

\[15^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{15\pi}{180} = \frac{\pi}{12}.\]

Ejercicio 24.5

Convierte a grados:

\[\frac{2\pi}{3}\ \mathrm{rad}.\]

Ver solución

\[\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ.\]

Ejercicio 24.6

Convierte a grados:

\[\frac{5\pi}{4}\ \mathrm{rad}.\]

Ver solución

\[\frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 225^\circ.\]

Ejercicio 24.7

Convierte a grados:

\[\frac{7\pi}{6}\ \mathrm{rad}.\]

Ver solución

\[\frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{6} = 210^\circ.\]

Ejercicio 24.8

Convierte a grados:

\[\frac{5\pi}{3}\ \mathrm{rad}.\]

Ver solución

\[\frac{5\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{3} = 300^\circ.\]

Ejercicio 24.9

Convierte a radianes:

\[135^\circ.\]

Ver solución

\[135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}.\]

Ejercicio 24.10

Convierte a grados:

\[\frac{11\pi}{6}\ \mathrm{rad}.\]

Ver solución

\[\frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{11 \cdot 180^\circ}{6} = 330^\circ.\]