Capítulo 42

La integral

UNAM IPN

La integración permite recuperar una función a partir de su derivada y calcular cantidades acumuladas.

Sus aplicaciones principales incluyen:

encontrar antiderivadas;
recuperar una función a partir de su razón de cambio;
calcular desplazamientos;
calcular áreas bajo una curva;
resolver problemas de acumulación.

42.1 Antiderivada o primitiva#

Definición

Una función \(F\) es una antiderivada o primitiva de \(f\) si:

\[F'(x)=f(x).\]

Por ejemplo, como:

\[\frac{d}{dx}(x^2)=2x,\]

una antiderivada de \(2x\) es:

\[x^2.\]

Sin embargo, también se cumple:

\[\frac{d}{dx}(x^2+3)=2x\]

\[\frac{d}{dx}(x^2-7)=2x.\]

Esto ocurre porque la derivada de cualquier constante es cero.

Teorema Familia de antiderivadas

Si \(F\) es una antiderivada de \(f\), entonces todas las antiderivadas de \(f\) tienen la forma:

\[F(x)+C,\]

donde \(C\) es una constante real.

La integral indefinida se escribe:

\[\int f(x)\,dx = F(x)+C.\]

En esta expresión:

\(\displaystyle\int\) es el signo de integral;
\(f(x)\) es el integrando;
\(dx\) indica la variable de integración;
\(C\) es la constante de integración.

Advertencia

En una integral indefinida siempre debe escribirse la constante:

\[+C.\]

Omitirla significa escribir solo una antiderivada, no la familia completa.

42.2 Derivación e integración#

La derivación y la integración son operaciones inversas.

\[F(x) \quad \xrightarrow{\text{derivar}} \quad f(x)\]

\[f(x) \quad \xrightarrow{\text{integrar}} \quad F(x)+C\]

Por tanto:

\[\frac{d}{dx} \left[ \int f(x)\,dx \right] = f(x).\]

También:

\[\int F'(x)\,dx = F(x)+C.\]

Ejemplo 42.1

Calcula:

\[\int 2x\,dx.\]

Ver solución

Buscamos una función cuya derivada sea \(2x\).

Como:

\[\frac{d}{dx}(x^2)=2x,\]

se obtiene:

\[\int 2x\,dx = x^2+C.\]

Ejemplo 42.2

Calcula:

\[\int \cos x\,dx.\]

Ver solución

Como:

\[\frac{d}{dx}(\sen x)=\cos x,\]

se obtiene:

\[\int \cos x\,dx = \sen x+C.\]

42.3 Propiedades de la integral indefinida#

42.3.1 Múltiplo constante#

\[\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx.\]

42.3.2 Suma#

\[\int \left[ f(x)+g(x) \right]dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.\]

42.3.3 Resta#

\[\int \left[ f(x)-g(x) \right]dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx.\]

Estas propiedades permiten integrar término a término.

42.4 Integrales inmediatas#

42.4.1 Constantes y potencias#

\[\begin{aligned} \int k\,dx &=kx+C,\\[4pt] \int x^n\,dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \qquad n\neq-1,\\[4pt] \int \frac{1}{x}\,dx &= \ln|x|+C. \end{aligned}\]

42.4.2 Funciones exponenciales#

\[\begin{aligned} \int e^x\,dx &=e^x+C,\\[4pt] \int a^x\,dx &= \frac{a^x}{\ln a}+C, \qquad a>0,\quad a\neq1. \end{aligned}\]

42.4.3 Funciones trigonométricas#

\[\begin{aligned} \int \sen x\,dx &=-\cos x+C,\\[4pt] \int \cos x\,dx &=\sen x+C,\\[4pt] \int \sec^2x\,dx &=\tan x+C,\\[4pt] \int \csc^2x\,dx &=-\cot x+C,\\[4pt] \int \sec x\tan x\,dx &=\sec x+C,\\[4pt] \int \csc x\cot x\,dx &=-\csc x+C. \end{aligned}\]

Advertencia

La regla de la potencia no puede utilizarse directamente cuando:

\[n=-1.\]

En ese caso:

\[\int x^{-1}\,dx = \int\frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.\]

42.5 Regla de la potencia#

Para integrar una potencia:

aumenta el exponente en una unidad;
divide entre el nuevo exponente;
agrega la constante de integración.

\[x^n \quad\longrightarrow\quad \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.\]

Ejemplo 42.3

Calcula:

\[\int 5x^3\,dx.\]

Ver solución

Aplicamos la regla de la potencia:

\[\int 5x^3\,dx = 5\int x^3\,dx.\]

\[= 5\left( \frac{x^4}{4} \right)+C.\]

Por tanto:

\[\int 5x^3\,dx = \frac{5x^4}{4}+C.\]

Ejemplo 42.4

Calcula:

\[\int \left( 3x^2-4x+7 \right)dx.\]

Ver solución

Integramos término a término:

\[\int3x^2\,dx - \int4x\,dx + \int7\,dx.\]

\[= x^3-2x^2+7x+C.\]

Por tanto:

\[\int \left( 3x^2-4x+7 \right)dx = x^3-2x^2+7x+C.\]

42.6 Raíces y potencias negativas#

Antes de integrar, conviene escribir las raíces y fracciones como potencias.

\[\sqrt{x}=x^{1/2},\]

\[\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3},\]

\[\frac{1}{x^n}=x^{-n}.\]

Ejemplo 42.5

Calcula:

\[\int\sqrt{x}\,dx.\]

Ver solución

Escribimos:

\[\sqrt{x}=x^{1/2}.\]

Aplicamos la regla de la potencia:

\[\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2}+C.\]

Por tanto:

\[\int\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}+C.\]

Ejemplo 42.6

Calcula:

\[\int\frac{1}{x^3}\,dx.\]

Ver solución

Escribimos:

\[\frac{1}{x^3}=x^{-3}.\]

Integramos:

\[\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2}+C.\]

Por tanto:

\[\int\frac{1}{x^3}\,dx = -\frac{1}{2x^2}+C.\]

Advertencia

La constante de integración se escribe una sola vez al final.

No es necesario escribir una constante diferente después de cada término.

42.7 Ejemplos de integrales inmediatas#

Ejemplo 42.7

Calcula:

\[\int \left( \frac{1}{x}+e^x \right)dx.\]

Ver solución

Integramos término a término:

\[\int\frac{1}{x}\,dx + \int e^x\,dx.\]

Por tanto:

\[\int \left( \frac{1}{x}+e^x \right)dx = \ln|x|+e^x+C.\]

Ejemplo 42.8

Calcula:

\[\int \left( 2\sen x-3\cos x \right)dx.\]

Ver solución

\[2\int\sen x\,dx - 3\int\cos x\,dx.\]

Por tanto:

\[\int \left( 2\sen x-3\cos x \right)dx = -2\cos x-3\sen x+C.\]

Ejemplo 42.9

Calcula:

\[\int \left( 3e^x-2\sec^2x \right)dx.\]

Ver solución

\[3\int e^x\,dx - 2\int\sec^2x\,dx.\]

Por tanto:

\[\int \left( 3e^x-2\sec^2x \right)dx = 3e^x-2\tan x+C.\]

42.8 Sustitución simple#

La sustitución permite integrar una función compuesta cuando aparece una expresión y también su derivada.

Si:

\[u=g(x),\]

entonces:

\[du=g'(x)\,dx.\]

La integral:

\[\int f(g(x))g'(x)\,dx\]

se transforma en:

\[\int f(u)\,du.\]

Ejemplo 42.10

Calcula:

\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx.\]

Ver solución

Elegimos:

\[u=x^2+1.\]

Entonces:

\[du=2x\,dx.\]

La integral se transforma en:

\[\int u^3\,du.\]

Integramos:

\[\int u^3\,du = \frac{u^4}{4}+C.\]

Regresamos a la variable original:

\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx = \frac{(x^2+1)^4}{4}+C.\]

Ejemplo 42.11

Calcula:

\[\int 3e^{3x}\,dx.\]

Ver solución

Elegimos:

\[u=3x.\]

Entonces:

\[du=3\,dx.\]

La integral queda:

\[\int e^u\,du.\]

Por tanto:

\[\int 3e^{3x}\,dx = e^{3x}+C.\]

Ejemplo 42.12

Calcula:

\[\int\frac{2x}{x^2+4}\,dx.\]

Ver solución

Elegimos:

\[u=x^2+4.\]

Entonces:

\[du=2x\,dx.\]

La integral queda:

\[\int\frac{1}{u}\,du.\]

Por tanto:

\[\int\frac{2x}{x^2+4}\,dx = \ln|x^2+4|+C.\]

Como:

\[x^2+4>0,\]

también puede escribirse:

\[\ln(x^2+4)+C.\]

42.9 Verificación de una integral#

Una integral indefinida puede comprobarse derivando el resultado.

Ejemplo 42.13

Comprueba:

\[\int \left( 6x^2-4x \right)dx = 2x^3-2x^2+C.\]

Ver solución

Derivamos el resultado:

\[\frac{d}{dx} \left( 2x^3-2x^2+C \right) = 6x^2-4x.\]

La derivada coincide con el integrando, por lo que el resultado es correcto.

Nota

La verificación mediante derivación es una forma rápida de detectar errores en exponentes, signos y constantes.

42.10 Condiciones iniciales#

Si se conoce:

\[f'(x)\]

y un valor:

\[f(x_0)=y_0,\]

la condición inicial permite encontrar la constante \(C\).

Ejemplo 42.14

Encuentra \(f\) si:

\[f'(x)=3x^2-2x\]

\[f(1)=4.\]

Ver solución

Integramos:

\[f(x) = \int \left( 3x^2-2x \right)dx.\]

\[f(x) = x^3-x^2+C.\]

Usamos la condición:

\[f(1)=4.\]

\[1^3-1^2+C=4.\]

\[C=4.\]

Por tanto:

\[f(x) = x^3-x^2+4.\]

Ejemplo 42.15

Encuentra \(f\) si:

\[f'(x)=\sen x+1\]

\[f(0)=2.\]

Ver solución

Integramos:

\[f(x) = -\cos x+x+C.\]

Usamos la condición inicial:

\[-\cos0+0+C=2.\]

\[-1+C=2.\]

\[C=3.\]

Por tanto:

\[f(x) = -\cos x+x+3.\]

42.11 Aplicación al movimiento#

Si la aceleración es:

\[a(t),\]

entonces:

\[v(t)=\int a(t)\,dt.\]

Si la velocidad es:

\[v(t),\]

entonces:

\[s(t)=\int v(t)\,dt.\]

Las condiciones iniciales permiten determinar las constantes.

Ejemplo 42.16

La aceleración de una partícula es:

\[a(t)=6t.\]

Además:

\[v(0)=2\]

\[s(0)=0.\]

Encuentra la velocidad y la posición.

Ver solución

Como:

\[a(t)=v'(t),\]

integramos:

\[v(t) = \int6t\,dt.\]

\[v(t) = 3t^2+C_1.\]

Usamos:

\[v(0)=2.\]

\[C_1=2.\]

Por tanto:

\[v(t)=3t^2+2.\]

Ahora:

\[s'(t)=v(t).\]

Integramos:

\[s(t) = \int \left( 3t^2+2 \right)dt.\]

\[s(t) = t^3+2t+C_2.\]

Usamos:

\[s(0)=0.\]

\[C_2=0.\]

Por tanto:

\[s(t)=t^3+2t.\]

42.12 Integral definida#

La integral definida se escribe:

\[\int_a^b f(x)\,dx.\]

Los números \(a\) y \(b\) son los límites de integración.

La integral definida representa una acumulación neta entre:

\[x=a\]

\[x=b.\]

Geométricamente:

las regiones sobre el eje \(x\) aportan área positiva;
las regiones debajo del eje \(x\) aportan área negativa.

42.13 Teorema fundamental del cálculo#

Teorema Evaluación de una integral definida

Si \(F\) es una antiderivada de \(f\), entonces:

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).\]

También se utiliza la notación:

\[\left[ F(x) \right]_a^b = F(b)-F(a).\]

Advertencia

En una integral definida no se escribe la constante \(C\), porque se cancela:

\[[F(b)+C]-[F(a)+C] = F(b)-F(a).\]

Ejemplo 42.17

Calcula:

\[\int_0^2 3x^2\,dx.\]

Ver solución

Una antiderivada de \(3x^2\) es:

\[F(x)=x^3.\]

Evaluamos:

\[\int_0^2 3x^2\,dx = \left[ x^3 \right]_0^2.\]

\[= 2^3-0^3.\]

Por tanto:

\[\int_0^2 3x^2\,dx = 8.\]

Ejemplo 42.18

Calcula:

\[\int_1^3 \left( 2x+1 \right)dx.\]

Ver solución

Integramos:

\[\int \left( 2x+1 \right)dx = x^2+x.\]

Evaluamos:

\[\int_1^3 \left( 2x+1 \right)dx = \left[ x^2+x \right]_1^3.\]

\[= (3^2+3)-(1^2+1).\]

\[= 12-2.\]

Por tanto:

\[\int_1^3 \left( 2x+1 \right)dx = 10.\]

42.14 Propiedades de la integral definida#

\[\int_a^a f(x)\,dx=0.\]

\[\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx.\]

Si:

\[a<c<b,\]

entonces:

\[\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.\]

También:

\[\int_a^b \left[ f(x)+g(x) \right]dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx.\]

42.15 Área entre una curva y el eje#

Si:

\[f(x)\geq0\]

en \([a,b]\), entonces el área es:

\[A = \int_a^b f(x)\,dx.\]

Si la función cambia de signo, el área geométrica debe calcularse separando los intervalos o utilizando:

\[A = \int_a^b |f(x)|\,dx.\]

Ejemplo 42.19

Calcula el área limitada por:

\[y=x,\]

el eje \(x\) y las rectas:

\[x=0, \qquad x=3.\]

Ver solución

Como:

\[x\geq0\]

en \([0,3]\), el área es:

\[A = \int_0^3 x\,dx.\]

Integramos:

\[A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^3.\]

\[A = \frac{9}{2}.\]

Por tanto:

\[A = \frac{9}{2}\]

unidades cuadradas.

Nota

La integral definida representa área neta. El área geométrica siempre se expresa como una cantidad no negativa.

42.16 Procedimiento rápido#

Integral indefinida#

Simplifica el integrando.
Separa sumas y restas.
Saca las constantes fuera de la integral.
Identifica la fórmula correspondiente.
Integra cada término.
Agrega: \[+C.\]
Comprueba derivando el resultado.

Sustitución#

Elige: \[u=g(x).\]
Calcula: \[du=g'(x)\,dx.\]
Reescribe toda la integral en términos de \(u\).
Integra.
Regresa a la variable original.

Integral definida#

Encuentra una antiderivada \(F\).
Evalúa el límite superior: \[F(b).\]
Evalúa el límite inferior: \[F(a).\]
Calcula: \[F(b)-F(a).\]

42.17 Resumen#

Integral indefinida:

\[\int f(x)\,dx = F(x)+C.\]

Relación con la derivada:

\[F'(x)=f(x).\]

Regla de la potencia:

\[\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \qquad n\neq-1.\]

Caso logarítmico:

\[\int\frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.\]

Integral definida:

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).\]

Movimiento:

\[v(t) = \int a(t)\,dt,\]

\[s(t) = \int v(t)\,dt.\]

42.18 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

En una integral indefinida debe escribirse: \[+C.\]
En la regla de la potencia primero se aumenta el exponente y después se divide entre el nuevo exponente.
La regla de la potencia no se utiliza con: \[n=-1.\]
Se cumple: \[\int\frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C.\]
Se cumple: \[\int\sen x\,dx = -\cos x+C.\]
La constante \(C\) se escribe una sola vez.
En una integral definida no se agrega \(C\).
La evaluación correcta es: \[F(b)-F(a),\] no \(F(a)-F(b)\).
La integral definida representa área neta, no siempre área geométrica.
El resultado puede comprobarse derivando.

42.19 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 42.1

Calcula:

\[\int4x^5\,dx.\]

Ver solución

Por la regla de la potencia: \[\int4x^5\,dx=\frac{4x^6}{6}+C=\frac{2}{3}x^6+C.\]

Ejercicio 42.2

Calcula:

\[\int \left( 2x^3-5x+3 \right)dx.\]

Ver solución

Integramos término a término: \[\int(2x^3-5x+3)\,dx=\frac{2x^4}{4}-\frac{5x^2}{2}+3x+C=\frac{1}{2}x^4-\frac{5}{2}x^2+3x+C.\]

Ejercicio 42.3

Calcula:

\[\int \left( 3\sqrt{x}+\frac{2}{x} \right)dx.\]

Ver solución

Escribiendo en forma de potencias: \[\int\left(3x^{1/2}+\frac{2}{x}\right)dx=\frac{3x^{3/2}}{3/2}+2\ln|x|+C=2x^{3/2}+2\ln|x|+C.\]

Ejercicio 42.4

Calcula:

\[\int\frac{1}{x^4}\,dx.\]

Ver solución

Escribimos como potencia negativa: \[\int x^{-4}\,dx=\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3x^3}+C.\]

Ejercicio 42.5

Calcula:

\[\int \left( 5\sen x+2\cos x \right)dx.\]

Ver solución

Integramos término a término: \[\int(5\sen x+2\cos x)\,dx=-5\cos x+2\sen x+C.\]

Ejercicio 42.6

Calcula:

\[\int \left( 3e^x-\sec^2x \right)dx.\]

Ver solución

Integramos término a término: \[\int(3e^x-\sec^2x)\,dx=3e^x-\tan x+C.\]

Ejercicio 42.7

Calcula mediante sustitución:

\[\int2x(x^2+3)^4\,dx.\]

Ver solución

Sea \(u=x^2+3\), entonces \(du=2x\,dx\). \[\int(x^2+3)^4(2x\,dx)=\int u^4\,du=\frac{u^5}{5}+C=\frac{(x^2+3)^5}{5}+C.\]

Ejercicio 42.8

Calcula mediante sustitución:

\[\int\frac{3x^2}{x^3+1}\,dx.\]

Ver solución

Sea \(u=x^3+1\), entonces \(du=3x^2\,dx\). \[\int\frac{3x^2}{x^3+1}\,dx=\int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C=\ln|x^3+1|+C.\]

Ejercicio 42.9

Encuentra \(f\) si:

\[f'(x)=4x-3\]

\[f(2)=5.\]

Ver solución

Integramos la derivada: \[f(x)=\int(4x-3)\,dx=2x^2-3x+C.\] Usamos la condición inicial \(f(2)=5\): \[2(2)^2-3(2)+C=5 \implies 8-6+C=5 \implies C=3.\] Por tanto, \(f(x)=2x^2-3x+3\).

Ejercicio 42.10

Encuentra \(f\) si:

\[f'(x)=\cos x\]

\[f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3.\]

Ver solución

Integramos la derivada: \[f(x)=\int\cos x\,dx=\sen x+C.\] Usamos la condición inicial \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\): \[\sen\left(\frac{\pi}{2}\right)+C=3 \implies 1+C=3 \implies C=2.\] Por tanto, \(f(x)=\sen x+2\).

Ejercicio 42.11

La velocidad de un móvil es:

\[v(t)=4t+1.\]

Si:

\[s(0)=2,\]

encuentra \(s(t)\).

Ver solución

La posición es la integral de la velocidad: \[s(t)=\int(4t+1)\,dt=2t^2+t+C.\] Usamos la condición inicial \(s(0)=2\): \[s(0)=C=2.\] Por tanto, \(s(t)=2t^2+t+2\).

Ejercicio 42.12

La aceleración de un objeto es:

\[a(t)=-10.\]

Si:

\[v(0)=0\]

\[s(0)=100,\]

encuentra \(v(t)\) y \(s(t)\).

Ver solución

La velocidad es la integral de la aceleración: \[v(t)=\int(-10)\,dt=-10t+C_1.\] Como \(v(0)=0\), entonces \(C_1=0\), por lo que \(v(t)=-10t\). La posición es la integral de la velocidad: \[s(t)=\int(-10t)\,dt=-5t^2+C_2.\] Como \(s(0)=100\), entonces \(C_2=100\). Por tanto, \(v(t)=-10t\) y \(s(t)=-5t^2+100\).

Ejercicio 42.13

Calcula:

\[\int_0^2 \left( 3x^2+1 \right)dx.\]

Ver solución

Buscamos una antiderivada y evaluamos: \[\int_0^2(3x^2+1)\,dx=[x^3+x]_0^2=(2^3+2)-(0^3+0)=8+2=10.\]

Ejercicio 42.14

Calcula:

\[\int_1^4\sqrt{x}\,dx.\]

Ver solución

Buscamos una antiderivada y evaluamos: \[\int_1^4 x^{1/2}\,dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4=\frac{2}{3}(4^{3/2}-1^{3/2})=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}.\]

Ejercicio 42.15

Calcula el área bajo la recta:

\[y=2x+1\]

entre:

\[x=0 \qquad\text{y}\qquad x=3.\]

Ver solución

Calculamos la integral definida: \[A=\int_0^3(2x+1)\,dx=[x^2+x]_0^3=(3^2+3)-(0^2+0)=9+3=12.\] El área es de \(12\) unidades cuadradas.