Capítulo 44

Integral definida y aplicaciones

UNAM IPN

La integral definida mide la acumulación neta de una cantidad en un intervalo.

Sus principales aplicaciones son:

calcular áreas bajo una curva;
calcular áreas entre curvas;
obtener desplazamientos y distancias;
calcular volúmenes de sólidos de revolución;
calcular longitudes de arco.

44.1 Integral definida#

Definición

La integral definida de una función \(f\) entre \(a\) y \(b\) se escribe:

\[\int_a^b f(x)\,dx.\]

El número \(a\) es el límite inferior y \(b\) es el límite superior. El resultado de una integral definida es un número real.

Si:

\[f(x)\geq0\]

en \([a,b]\), la integral representa el área bajo la curva:

\[y=f(x),\]

sobre el eje \(x\) y entre las rectas:

\[x=a \qquad\text{y}\qquad x=b.\]

44.2 Propiedades básicas#

Intervalo de longitud cero#

\[\int_a^a f(x)\,dx=0.\]

Cambio de orientación#

\[\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx.\]

Separación del intervalo#

Si:

\[a<c<b,\]

entonces:

\[\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.\]

Múltiplo constante#

\[\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx.\]

Suma y resta#

\[\int_a^b \left[ f(x)\pm g(x) \right]dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx.\]

Integral de una constante#

\[\int_a^b k\,dx = k(b-a).\]

Ejemplo 44.1

Se sabe que:

\[\int_a^b f(x)\,dx = \frac52\]

\[\int_a^b g(x)\,dx = \frac43.\]

Calcula:

\[\int_a^b \left[ f(x)-g(x) \right]dx.\]

Ver solución

Por linealidad:

\[\int_a^b \left[ f(x)-g(x) \right]dx = \frac52-\frac43.\]

\[= \frac{15-8}{6}.\]

Por tanto:

\[\int_a^b \left[ f(x)-g(x) \right]dx = \frac76.\]

44.3 Teorema Fundamental del Cálculo#

Teorema Evaluación de una integral definida

Si \(F\) es una antiderivada de \(f\), entonces:

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).\]

La notación:

\[\left[ F(x) \right]_a^b\]

significa:

\[F(b)-F(a).\]

Procedimiento#

Encuentra una antiderivada \(F\).
Evalúa: \[F(b).\]
Evalúa: \[F(a).\]
Calcula: \[F(b)-F(a).\]

Advertencia

En una integral definida no se escribe la constante \(C\), porque se cancela:

\[[F(b)+C]-[F(a)+C] = F(b)-F(a).\]

Ejemplo 44.2

Calcula:

\[\int_0^2 x^2\,dx.\]

Ver solución

Una antiderivada de \(x^2\) es:

\[F(x)=\frac{x^3}{3}.\]

Evaluamos:

\[\int_0^2 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2.\]

\[= \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3}.\]

Por tanto:

\[\int_0^2 x^2\,dx = \frac83.\]

Ejemplo 44.3

Calcula:

\[\int_1^3 (2x+1)\,dx.\]

Ver solución

Una antiderivada es:

\[F(x)=x^2+x.\]

Evaluamos:

\[\int_1^3 (2x+1)\,dx = \left[ x^2+x \right]_1^3.\]

\[= (9+3)-(1+1).\]

Por tanto:

\[\int_1^3 (2x+1)\,dx = 10.\]

Ejemplo 44.4

Calcula:

\[\int_1^4\frac{dx}{\sqrt{x}}.\]

Ver solución

Escribimos:

\[\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}.\]

Una antiderivada es:

\[2x^{1/2}.\]

Evaluamos:

\[\int_1^4 x^{-1/2}\,dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_1^4.\]

\[= 2\sqrt{4}-2\sqrt{1}.\]

Por tanto:

\[\int_1^4\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2.\]

44.4 Integral neta y área geométrica#

La integral definida representa área con signo:

las regiones sobre el eje \(x\) aportan valores positivos;
las regiones debajo del eje \(x\) aportan valores negativos.

Por tanto, la integral definida representa una acumulación neta.

El área geométrica siempre es no negativa.

Si:

\[f(x)\geq0\]

en \([a,b]\), entonces:

\[A = \int_a^b f(x)\,dx.\]

Si la función cambia de signo, debe separarse el intervalo en sus ceros y sumar las áreas positivas.

Equivalentemente:

\[A = \int_a^b |f(x)|\,dx.\]

Ejemplo 44.5

Calcula el área entre:

\[y=x^2,\]

el eje \(x\) y las rectas:

\[x=0 \qquad\text{y}\qquad x=2.\]

Ver solución

Como:

\[x^2\geq0,\]

el área es:

\[A = \int_0^2 x^2\,dx.\]

\[A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2.\]

Por tanto:

\[A = \frac83\]

unidades cuadradas.

44.5 Área entre dos curvas#

Si:

\[f(x)\geq g(x)\]

en \([a,b]\), el área entre las curvas es:

\[A = \int_a^b \left[ f(x)-g(x) \right]dx.\]

En palabras:

\[\text{área} = \int \left( \text{función superior} - \text{función inferior} \right)dx.\]

Procedimiento#

Encuentra los puntos de intersección.
Identifica cuál función está arriba.
Resta: \[\text{superior}-\text{inferior}.\]
Integra entre los puntos de intersección.
Expresa el resultado en unidades cuadradas.

Ejemplo 44.6

Calcula el área entre:

\[y=x\]

\[y=x^2\]

en:

\[[0,1].\]

Ver solución

En el intervalo \([0,1]\):

\[x\geq x^2.\]

Por tanto, la función superior es:

\[f(x)=x,\]

y la inferior es:

\[g(x)=x^2.\]

El área es:

\[A = \int_0^1 (x-x^2)\,dx.\]

Integramos:

\[A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1.\]

\[A = \frac12-\frac13.\]

Por tanto:

\[A = \frac16\]

unidades cuadradas.

Advertencia

Si las curvas cambian de posición dentro del intervalo, debe dividirse el área en varias integrales.

44.6 Aplicaciones al movimiento#

Si:

\[v(t)\]

es la velocidad de un objeto, el desplazamiento entre \(t=a\) y \(t=b\) es:

\[\Delta s = \int_a^b v(t)\,dt.\]

La distancia total recorrida es:

\[d = \int_a^b |v(t)|\,dt.\]

Advertencia

El desplazamiento y la distancia total no siempre son iguales.

El desplazamiento considera el signo de la velocidad. La distancia total suma todas las distancias recorridas como cantidades positivas.

Ejemplo 44.7

La velocidad de una partícula es:

\[v(t)=3t^2-12t+9.\]

Encuentra el desplazamiento entre:

\[t=0 \qquad\text{y}\qquad t=4.\]

Ver solución

\[\Delta s = \int_0^4 (3t^2-12t+9)\,dt.\]

Integramos:

\[\Delta s = \left[ t^3-6t^2+9t \right]_0^4.\]

\[= (64-96+36)-0.\]

Por tanto:

\[\Delta s=4\ \text{m}.\]

Ejemplo 44.8

Para la velocidad:

\[v(t)=3t^2-12t+9,\]

determina cuándo cambia de dirección en \([0,4]\).

Ver solución

Factorizamos:

\[v(t) = 3(t^2-4t+3).\]

\[v(t) = 3(t-1)(t-3).\]

La velocidad es cero en:

\[t=1 \qquad\text{y}\qquad t=3.\]

Estos valores dividen el intervalo en:

\[[0,1], \qquad [1,3], \qquad [3,4].\]

Para calcular la distancia total, debe integrarse el valor absoluto o cambiar el signo de los intervalos donde la velocidad sea negativa.

44.7 Valor promedio de una función#

El valor promedio de una función continua en \([a,b]\) es:

\[f_{\mathrm{prom}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx.\]

Ejemplo 44.9

Encuentra el valor promedio de:

\[f(x)=x^2\]

en:

\[[0,3].\]

Ver solución

\[f_{\mathrm{prom}} = \frac{1}{3-0} \int_0^3 x^2\,dx.\]

\[= \frac13 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3.\]

\[= \frac13 \left( \frac{27}{3} \right).\]

Por tanto:

\[f_{\mathrm{prom}}=3.\]

44.8 Volúmenes de sólidos de revolución#

Cuando una región gira alrededor de una recta, genera un sólido de revolución.

44.8.1 Método del disco#

Si una región bajo:

\[y=f(x)\]

gira alrededor del eje \(x\), el radio de cada disco es:

\[R(x)=f(x).\]

El volumen es:

\[V = \pi \int_a^b [R(x)]^2\,dx.\]

En el caso más simple:

\[V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx.\]

Ejemplo 44.10

Encuentra el volumen generado al girar:

\[y=x\]

alrededor del eje \(x\) en:

\[[0,3].\]

Ver solución

El radio es:

\[R(x)=x.\]

Aplicamos la fórmula:

\[V = \pi \int_0^3 x^2\,dx.\]

\[V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3.\]

\[V = \pi \left( \frac{27}{3} \right).\]

Por tanto:

\[V=9\pi\]

unidades cúbicas.

44.8.2 Método de las arandelas#

Si existe un radio exterior \(R(x)\) y un radio interior \(r(x)\), el volumen es:

\[V = \pi \int_a^b \left( [R(x)]^2-[r(x)]^2 \right)dx.\]

Nota

En el método de las arandelas se resta:

\[\text{área exterior} - \text{área interior}.\]

Advertencia

En las fórmulas de volumen aparecen unidades cúbicas, no unidades cuadradas.

44.9 Longitud de arco#

IPN

Si \(f'\) es continua en \([a,b]\), la longitud del arco de:

\[y=f(x)\]

es:

\[L = \int_a^b \sqrt{ 1+[f'(x)]^2 } \,dx.\]

Procedimiento#

Calcula: \[f'(x).\]
Eleva al cuadrado: \[[f'(x)]^2.\]
Forma: \[\sqrt{1+[f'(x)]^2}.\]
Integra entre \(a\) y \(b\).

Ejemplo 44.11

IPN

Calcula la longitud de arco de:

\[y=x\]

entre:

\[x=0 \qquad\text{y}\qquad x=3.\]

Ver solución

Derivamos:

\[f'(x)=1.\]

Aplicamos la fórmula:

\[L = \int_0^3 \sqrt{1+1^2}\,dx.\]

\[L = \int_0^3 \sqrt{2}\,dx.\]

\[L = \left[ \sqrt{2}\,x \right]_0^3.\]

Por tanto:

\[L=3\sqrt{2}.\]

Este resultado coincide con la distancia entre:

\[(0,0)\]

\[(3,3).\]

Ejemplo 44.12

IPN

Calcula la longitud de arco de:

\[y=\frac23x^{3/2}\]

entre:

\[x=0 \qquad\text{y}\qquad x=3.\]

Ver solución

Derivamos:

\[f'(x) = \sqrt{x}.\]

Entonces:

\[[f'(x)]^2=x.\]

Aplicamos la fórmula:

\[L = \int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx.\]

Integramos:

\[L = \left[ \frac23(1+x)^{3/2} \right]_0^3.\]

\[L = \frac23 \left( 4^{3/2}-1^{3/2} \right).\]

\[L = \frac23(8-1).\]

Por tanto:

\[L = \frac{14}{3}.\]

44.10 Procedimiento rápido#

Integral definida#

Encuentra una antiderivada \(F\).
Evalúa: \[F(b)-F(a).\]

Área bajo una curva#

Determina si la función es positiva o negativa.
Integra en cada intervalo.
Usa valores absolutos si se solicita área geométrica.

Área entre curvas#

Encuentra las intersecciones.
Identifica la curva superior.
Integra: \[\text{superior}-\text{inferior}.\]

Movimiento#

Para desplazamiento, integra \(v(t)\).
Para distancia total, separa donde \(v(t)=0\).
Suma las distancias como cantidades positivas.

Volumen#

Identifica el eje de giro.
Determina el radio exterior y, si existe, el interior.
Eleva los radios al cuadrado.
Integra y multiplica por \(\pi\).

44.11 Resumen#

Teorema Fundamental del Cálculo:

\[\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).\]

Área bajo una curva positiva:

\[A = \int_a^b f(x)\,dx.\]

Área entre curvas:

\[A = \int_a^b \left( \text{superior}-\text{inferior} \right)dx.\]

Desplazamiento:

\[\Delta s = \int_a^b v(t)\,dt.\]

Distancia total:

\[d = \int_a^b |v(t)|\,dt.\]

Valor promedio:

\[f_{\mathrm{prom}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx.\]

Volumen por discos:

\[V = \pi \int_a^b [R(x)]^2\,dx.\]

Volumen por arandelas:

\[V = \pi \int_a^b \left( [R(x)]^2-[r(x)]^2 \right)dx.\]

Longitud de arco:

\[L = \int_a^b \sqrt{ 1+[f'(x)]^2 } \,dx.\]

44.12 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

En una integral definida se calcula: \[F(b)-F(a).\]
No se agrega \(C\) en una integral definida.
La integral representa acumulación neta.
El área geométrica siempre es no negativa.
Para calcular área entre curvas se resta: \[\text{superior}-\text{inferior}.\]
Si las curvas cambian de posición, debe dividirse el intervalo.
El desplazamiento puede ser negativo, pero la distancia total no.
Para calcular distancia total deben localizarse los ceros de la velocidad.
En el método del disco, el radio se eleva al cuadrado.
En el método de las arandelas se resta el cuadrado del radio interior.
Las áreas se expresan en unidades cuadradas.
Los volúmenes se expresan en unidades cúbicas.
En longitud de arco debe calcularse primero la derivada.

44.13 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 44.1

Calcula:

\[\int_0^3 (2x+1)\,dx.\]

Ver solución

\[\int_0^3 (2x+1)\,dx = \left[x^2+x\right]_0^3 = (9+3) - 0 = 12.\]

Ejercicio 44.2

Calcula:

\[\int_1^2 x^3\,dx.\]

Ver solución

\[\int_1^2 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.\]

Ejercicio 44.3

Calcula:

\[\int_0^\pi\sen x\,dx.\]

Ver solución

\[\int_0^\pi \sen x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2.\]

Ejercicio 44.4

Calcula:

\[\int_1^e\frac{1}{x}\,dx.\]

Ver solución

\[\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln|x|\right]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.\]

Ejercicio 44.5

Calcula el área bajo:

\[y=x^2\]

entre:

\[x=0 \qquad\text{y}\qquad x=3.\]

Ver solución

\[A = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} = 9.\]

Ejercicio 44.6

Calcula el área entre:

\[y=x^2\]

\[y=x\]

en:

\[[0,1].\]

Ver solución

En \([0,1]\), la función superior es \(y=x\) y la inferior es \(y=x^2\). \[A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\]

Ejercicio 44.7

Calcula el área entre:

\[y=4-x^2\]

y el eje \(x\).

Ver solución

Intersecciones con el eje \(x\): \(4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2\). La parábola está sobre el eje \(x\) en \([-2,2]\). \[A = \int_{-2}^2 (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2 = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.\]

Ejercicio 44.8

La velocidad de un móvil es:

\[v(t)=6t+2.\]

Encuentra el desplazamiento entre:

\[t=0 \qquad\text{y}\qquad t=4.\]

Ver solución

\[\Delta s = \int_0^4 (6t+2)\,dt = \left[3t^2 + 2t\right]_0^4 = 3(16) + 8 = 56.\]

Ejercicio 44.9

La velocidad de una partícula es:

\[v(t)=t-2.\]

Calcula el desplazamiento y la distancia total recorrida entre:

\[t=0 \qquad\text{y}\qquad t=5.\]

Ver solución

Desplazamiento: \[\int_0^5 (t-2)\,dt = \left[\frac{t^2}{2} - 2t\right]_0^5 = \frac{25}{2} - 10 = \frac{5}{2}.\] Distancia total: \(v(t)=0\) en \(t=2\). \[\int_0^2 (2-t)\,dt + \int_2^5 (t-2)\,dt = \left[2t - \frac{t^2}{2}\right]_0^2 + \left[\frac{t^2}{2} - 2t\right]_2^5 = (4 - 2) + \left(\frac{5}{2} - (-2)\right) = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}.\]

Ejercicio 44.10

Encuentra el valor promedio de:

\[f(x)=x^2+1\]

en:

\[[0,2].\]

Ver solución

\[f_{prom} = \frac{1}{2-0} \int_0^2 (x^2+1)\,dx = \frac{1}{2} \left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{8}{3} + 2\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{14}{3}\right) = \frac{7}{3}.\]

Ejercicio 44.11

Encuentra el volumen generado al girar:

\[y=x^2\]

alrededor del eje \(x\) en:

\[[0,2].\]

Ver solución

Por el método de los discos: \[V = \pi \int_0^2 (x^2)^2\,dx = \pi \int_0^2 x^4\,dx = \pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \frac{32\pi}{5}.\]

Ejercicio 44.12

Encuentra el volumen generado al girar la región entre:

\[y=2\]

\[y=x\]

alrededor del eje \(x\) en:

\[[0,2].\]

Ver solución

Por el método de las arandelas: \[V = \pi \int_0^2 \left(2^2 - x^2\right)\,dx = \pi \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \pi\left(8 - \frac{8}{3}\right) = \frac{16\pi}{3}.\]

Ejercicio 44.13

IPN

Calcula la longitud de arco de:

\[y=x\]

entre:

\[x=1 \qquad\text{y}\qquad x=5.\]

Ver solución

\(y=x \Rightarrow y'=1\). \[L = \int_1^5 \sqrt{1 + (1)^2}\,dx = \int_1^5 \sqrt{2}\,dx = \sqrt{2}\left[x\right]_1^5 = 4\sqrt{2}.\]

Ejercicio 44.14

IPN

Calcula la longitud de arco de:

\[y=\frac23x^{3/2}\]

entre:

\[x=0 \qquad\text{y}\qquad x=3.\]

Ver solución

\(y=\frac{2}{3}x^{3/2} \Rightarrow y'=x^{1/2}\). \[L = \int_0^3 \sqrt{1 + (x^{1/2})^2}\,dx = \int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx = \left[\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac{2}{3}(4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}.\]

Ejercicio 44.15

Calcula el área bajo:

\[y=e^x\]

entre:

\[x=0 \qquad\text{y}\qquad x=1.\]

Ver solución

\[A = \int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1.\]