Capítulo 2

Operaciones básicas con números reales

UNAMIPNCENEVAL

Las operaciones básicas con números reales son indispensables para estudiar álgebra, funciones, geometría y cálculo. En este capítulo repasarás las reglas de los signos, la jerarquía de las operaciones y el uso de los signos de agrupación. Dominar estos procedimientos te permitirá realizar cálculos con precisión y evitar errores en problemas más complejos.

2.1 La recta numérica y el valor absoluto#

Definición

El valor absoluto de un número real $x$, denotado por $|x|$, es la distancia entre $x$ y el origen en la recta numérica. Por esta razón, el valor absoluto siempre es mayor o igual que cero.

\[|x|= \begin{cases} x, & \text{si } x\geq 0,\\ -x, & \text{si } x<0. \end{cases}\]

Ejemplo 2.1

Calcula los siguientes valores absolutos:

\[|5|, \qquad |-3|, \qquad |0|, \qquad |-7.2|, \qquad \left|\frac{1}{2}\right|.\]

Ver solución

\[\begin{aligned} |5| &=5,\\ |-3| &=3,\\ |0| &=0,\\ |-7.2| &=7.2,\\ \left|\frac{1}{2}\right|&=\frac{1}{2}. \end{aligned}\]

Todos los resultados son no negativos, pues el valor absoluto representa una distancia.

Advertencia

La igualdad \[|x|=-x\] para $x<0$ no significa que el valor absoluto sea negativo. Si $x$ es negativo, su opuesto $-x$ es positivo. Por ejemplo, si $x=-3$, entonces \[|x|=|-3|=-(-3)=3.\]

2.2 Suma y resta#

Para sumar números con el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo común. Si los números tienen signos distintos, se restan sus valores absolutos y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.

La resta puede interpretarse como la suma del opuesto:

\[a-b=a+(-b).\]

Ejemplo 2.2

Resuelve las siguientes operaciones:

\[-7+4, \qquad 12-20, \qquad -3-5, \qquad -8+8, \qquad 15-6.\]

Ver solución

\[\begin{aligned} -7+4 &=-3, &&\text{porque $|-7|>|4|$ y el número de mayor magnitud es negativo},\\ 12-20 &=12+(-20)=-8, &&\text{al escribir la resta como suma del opuesto},\\ -3-5 &=-3+(-5)=-8, &&\text{porque ambos sumandos son negativos},\\ -8+8 &=0, &&\text{porque los números son opuestos},\\ 15-6 &=9, &&\text{porque $|15|>|-6|$ y el número de mayor magnitud es positivo}. \end{aligned}\]

Advertencia

Al restar un número negativo, los dos signos no deben conservarse como operaciones independientes. Restar un número equivale a sumar su opuesto:

\[-5-(-3)=-5+3=-2.\]

En este caso, el opuesto de $-3$ es $3$.

2.3 Multiplicación y división#

Teorema Ley de los signos

En la multiplicación y la división, el signo del resultado se determina de la siguiente manera:

Si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo: \[(+)(+)=+, \qquad (-)(-)=+.\]
Si los números tienen signos distintos, el resultado es negativo: \[(+)(-)=-, \qquad (-)(+)=-.\]

Ejemplo 2.3

Resuelve las siguientes operaciones:

\[(-4)(-7), \qquad (-3)(5), \qquad \frac{-24}{6}, \qquad \frac{-36}{-9}, \qquad \frac{0}{-5}.\]

Ver solución

\[\begin{aligned} (-4)(-7) &=28, &&\text{porque los factores tienen el mismo signo},\\ (-3)(5) &=-15, &&\text{porque los factores tienen signos distintos},\\ \frac{-24}{6} &=-4, &&\text{porque el dividendo y el divisor tienen signos distintos},\\ \frac{-36}{-9} &=4, &&\text{porque el dividendo y el divisor tienen el mismo signo},\\ \frac{0}{-5} &=0, &&\text{porque cero entre cualquier número distinto de cero es cero}. \end{aligned}\]

Advertencia

La división entre cero no está definida. Por tanto, expresiones como \[\frac{5}{0}\] no representan ningún número real.

La expresión \[\frac{0}{0}\] tampoco está definida y, en el contexto del estudio de límites, se denomina forma indeterminada. En cambio, \[\frac{0}{5}=0\] es una operación válida.

2.4 Jerarquía de las operaciones#

Cuando una expresión contiene varias operaciones, estas deben realizarse según un orden establecido.

Teorema Orden de las operaciones

Las operaciones deben efectuarse en el siguiente orden:

Signos de agrupación. Se resuelven de adentro hacia afuera.
Potencias y raíces.
Multiplicaciones y divisiones. Si tienen la misma prioridad, se realizan de izquierda a derecha.
Sumas y restas. Si tienen la misma prioridad, se realizan de izquierda a derecha.

Ejemplo 2.4

Evalúa la expresión

\[3+2\cdot 4^2-(5-2).\]

Ver solución

Primero se resuelven el paréntesis y la potencia:

\[\begin{aligned} 3+2\cdot 4^2-(5-2) &=3+2\cdot 16-3. \end{aligned}\]

Después se efectúa la multiplicación:

\[\begin{aligned} 3+2\cdot 16-3 &=3+32-3. \end{aligned}\]

Finalmente, se realizan la suma y la resta de izquierda a derecha:

\[\begin{aligned} 3+32-3 &=35-3\\ &=32. \end{aligned}\]

Advertencia

El orden de izquierda a derecha solo se aplica entre operaciones que tienen la misma prioridad. No debe utilizarse para ignorar la jerarquía de las operaciones.

Por ejemplo, en \[2+3\cdot 4,\] primero se realiza la multiplicación:

\[2+3\cdot 4 = 2+12 = 14.\]

El resultado no es $20$, pues no debe sumarse $2+3$ antes de efectuar la multiplicación.

2.5 Signos de agrupación#

Los signos de agrupación indican qué operaciones deben realizarse primero. Los más utilizados son:

los paréntesis: $(\ )$;
los corchetes: $[\ ]$;
las llaves: $\{\ \}$.

Cuando aparecen varios signos de agrupación anidados, las operaciones se resuelven desde el grupo más interno hacia el más externo.

Teorema Supresión de signos de agrupación

Para eliminar correctamente un signo de agrupación, debe observarse el signo o factor que lo precede.

Si el signo de agrupación está precedido por un signo positivo, puede eliminarse sin modificar los signos interiores: \[a+(b-c)=a+b-c.\]
Si el signo de agrupación está precedido por un signo negativo, deben cambiarse los signos de todos los términos interiores: \[a-(b-c)=a-b+c.\]
Si el signo de agrupación está precedido por un factor, dicho factor debe multiplicarse por cada término interior: \[a(b+c)=ab+ac.\]

Ejemplo 2.5

Simplifica la expresión

\[5-[3-(2-7)].\]

Ver solución

Se comienza con el paréntesis más interno:

\[\begin{aligned} 5-[3-(2-7)] &=5-[3-(-5)]\\ &=5-[3+5]\\ &=5-8\\ &=-3. \end{aligned}\]

Ejemplo 2.6

Simplifica la expresión

\[-4+\{2-[5-(3+1)]\}.\]

Ver solución

Las operaciones se realizan desde el signo de agrupación más interno:

\[\begin{aligned} -4+\{2-[5-(3+1)]\} &=-4+\{2-[5-4]\}\\ &=-4+\{2-1\}\\ &=-4+1\\ &=-3. \end{aligned}\]

2.6 Ejemplos integradores#

Ejemplo 2.7

Determina si la siguiente expresión tiene un valor real:

\[\frac{-8+4\cdot 3}{2-(6-4)}.\]

Ver solución

Primero se efectúan la multiplicación y la operación dentro del paréntesis:

\[\begin{aligned} \frac{-8+4\cdot 3}{2-(6-4)} &=\frac{-8+12}{2-2}\\ &=\frac{4}{0}. \end{aligned}\]

Como la división entre cero no está definida, la expresión no tiene un valor real.

Ejemplo 2.8

Evalúa la expresión

\[(-2)^3+3\cdot(4-7).\]

Ver solución

Primero se calculan la potencia y la operación dentro del paréntesis:

\[\begin{aligned} (-2)^3+3\cdot(4-7) &=-8+3\cdot(-3). \end{aligned}\]

Después se realiza la multiplicación:

\[\begin{aligned} -8+3\cdot(-3) &=-8-9\\ &=-17. \end{aligned}\]

2.7 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 2.1

Calcula el valor absoluto de cada número:

\[-12, \qquad 7.5, \qquad -\sqrt{2}, \qquad 0, \qquad -\pi.\]

Ver solución

$|-12| = 12$, $|7.5| = 7.5$, $|-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$, $|0| = 0$, $|-\pi| = \pi$.

Ejercicio 2.2

Resuelve las siguientes sumas y restas:

\[-9+15, \qquad -20-8, \qquad 14-25, \qquad -6+6, \qquad -3-(-7).\]

Ver solución

$-9+15 = 6$; $-20-8 = -28$; $14-25 = -11$; $-6+6 = 0$; $-3-(-7) = -3+7 = 4$.

Ejercicio 2.3

Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones:

\[(-5)(-8), \qquad (-6)(4), \qquad \frac{-45}{9}, \qquad \frac{-72}{-8}, \qquad \frac{0}{17}.\]

Ver solución

$(-5)(-8) = 40$; $(-6)(4) = -24$; $\frac{-45}{9} = -5$; $\frac{-72}{-8} = 9$; $\frac{0}{17} = 0$.

Ejercicio 2.4

Evalúa la expresión:

\[4+3\cdot 2^3-(8-5).\]

Ver solución

\[\begin{aligned} 4 + 3 \cdot 2^3 - (8 - 5) &= 4 + 3 \cdot 8 - 3 \\ &= 4 + 24 - 3 \\ &= 25. \end{aligned}\]

Ejercicio 2.5

Simplifica la expresión:

\[-2-\{3-[4-(5-2)]\}.\]

Ver solución

\[\begin{aligned} -2 - \{3 - [4 - (5 - 2)]\} &= -2 - \{3 - [4 - 3]\} \\ &= -2 - \{3 - 1\} \\ &= -2 - 2 \\ &= -4. \end{aligned}\]

Ejercicio 2.6

Evalúa la expresión:

\[\frac{6-8\cdot 2}{-5+3}.\]

Ver solución

\[\frac{6 - 8 \cdot 2}{-5 + 3} = \frac{6 - 16}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5.\]