Capítulo 3

Fracciones y decimales

UNAMIPNCENEVAL

Las fracciones y los decimales son formas equivalentes de representar números racionales. Comprender sus propiedades y dominar sus operaciones resulta indispensable para estudiar álgebra, geometría, probabilidad y cálculo. En este capítulo aprenderás a simplificar fracciones, realizar operaciones con ellas y convertir entre representaciones fraccionarias y decimales.

3.1 Concepto de fracción#

Definición

Una fracción es una expresión de la forma

\[\frac{a}{b},\]

donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\neq 0\). El número \(a\) se denomina numerador y el número \(b\), denominador. La fracción representa el cociente de \(a\) entre \(b\).

Definición

Cuando el numerador y el denominador son positivos, una fracción puede clasificarse de la siguiente manera:

Es propia si el numerador es menor que el denominador. Su valor se encuentra entre \(0\) y \(1\). Por ejemplo: \[\frac{3}{5}.\]
Es impropia si el numerador es mayor o igual que el denominador. Su valor es mayor o igual que \(1\). Por ejemplo: \[\frac{7}{4}.\]
Se expresa como número mixto cuando se escribe como la suma de un número entero y una fracción propia. Por ejemplo: \[2\frac{1}{3} = 2+\frac{1}{3} = \frac{7}{3}.\]

Nota

Toda fracción representa un número racional. Los números enteros también pueden escribirse como fracciones. Por ejemplo:

\[5=\frac{5}{1}, \qquad -3=\frac{-3}{1}.\]

3.2 Fracciones equivalentes y simplificación#

Definición

Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número. Una fracción equivalente puede obtenerse multiplicando el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero:

\[\frac{a}{b} = \frac{ak}{bk}, \qquad b\neq 0, \qquad k\neq 0.\]

También puede dividirse el numerador y el denominador entre un divisor común distinto de cero.

Definición

Simplificar una fracción consiste en dividir su numerador y su denominador entre un divisor común. Una fracción es irreducible cuando el máximo común divisor de su numerador y su denominador es \(1\).

Ejemplo 3.1

Simplifica la fracción

\[\frac{24}{36}.\]

Ver solución

Primero calculamos el máximo común divisor de \(24\) y \(36\):

\[\begin{aligned} 24&=2^3\cdot 3,\\ 36&=2^2\cdot 3^2. \end{aligned}\]

Los factores comunes con el menor exponente son \(2^2\) y \(3\). Por tanto,

\[\operatorname{MCD}(24,36) = 2^2\cdot 3 = 12.\]

Dividimos el numerador y el denominador entre \(12\):

\[\frac{24}{36} = \frac{24\div 12}{36\div 12} = \frac{2}{3}.\]

La fracción irreducible es

\[\frac{2}{3}.\]

3.3 Suma y resta de fracciones#

Teorema Fracciones con el mismo denominador

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan sus numeradores y se conserva el denominador:

\[\begin{aligned} \frac{a}{c}+\frac{b}{c} &=\frac{a+b}{c},\\ \frac{a}{c}-\frac{b}{c} &=\frac{a-b}{c}, \end{aligned}\]

donde \(c\neq 0\).

Teorema Fracciones con denominadores distintos

Si las fracciones tienen denominadores distintos, pueden escribirse con un denominador común. En particular:

\[\begin{aligned} \frac{a}{b}+\frac{c}{d} &=\frac{ad+bc}{bd},\\ \frac{a}{b}-\frac{c}{d} &=\frac{ad-bc}{bd}, \end{aligned}\]

donde \(b\neq 0\) y \(d\neq 0\).

Cuando sea posible, conviene utilizar el mínimo común múltiplo de los denominadores para facilitar los cálculos.

Ejemplo 3.2

Calcula

\[\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{1}{2}.\]

Ver solución

El mínimo común múltiplo de \(4\), \(6\) y \(2\) es \(12\). Escribimos las tres fracciones con denominador \(12\):

\[\begin{aligned} \frac{3}{4} &=\frac{9}{12},& \frac{5}{6} &=\frac{10}{12},& \frac{1}{2} &=\frac{6}{12}. \end{aligned}\]

Entonces:

\[\begin{aligned} \frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{1}{2} &=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}-\frac{6}{12}\\ &=\frac{9+10-6}{12}\\ &=\frac{13}{12}. \end{aligned}\]

El resultado es

\[\frac{13}{12}.\]

Advertencia

Al sumar o restar fracciones, no deben sumarse o restarse directamente los denominadores. Por ejemplo:

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}.\]

Las fracciones deben expresarse primero con un denominador común:

\[\frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6} = \frac{5}{6}.\]

3.4 Multiplicación y división#

Teorema Multiplicación de fracciones

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican sus numeradores y sus denominadores:

\[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \qquad b\neq 0, \qquad d\neq 0.\]

Teorema División de fracciones

Para dividir entre una fracción distinta de cero, se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda:

\[\frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc},\]

donde

\[b\neq 0, \qquad c\neq 0, \qquad d\neq 0.\]

Ejemplo 3.3

Calcula

\[\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8} \qquad\text{y}\qquad \frac{5}{6}\div\frac{10}{3}.\]

Ver solución

Para la multiplicación, simplificamos los factores comunes antes de multiplicar:

\[\begin{aligned} \frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8} &=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{6}. \end{aligned}\]

Para la división, multiplicamos por el recíproco de la segunda fracción:

\[\begin{aligned} \frac{5}{6}\div\frac{10}{3} &=\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{10}\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{4}. \end{aligned}\]

Advertencia

La división no es conmutativa. En general,

\[\frac{a}{b}\div\frac{c}{d} \neq \frac{c}{d}\div\frac{a}{b}.\]

Por ejemplo:

\[\begin{aligned} \frac{5}{6}\div\frac{10}{3} &=\frac{1}{4},\\ \frac{10}{3}\div\frac{5}{6} &=4. \end{aligned}\]

3.5 Fracciones complejas#

Definición

Una fracción compleja es una fracción cuyo numerador, denominador o ambos contienen a su vez una o más fracciones. Por ejemplo:

\[\frac{ \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2} }{ \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4} }.\]

Para simplificarla, puede operarse por separado el numerador y el denominador. Después, se divide el resultado del numerador entre el del denominador, siempre que este último sea distinto de cero.

Ejemplo 3.4

Simplifica la fracción compleja

\[\frac{ 1+\dfrac{1}{2} }{ 1-\dfrac{1}{3} }.\]

Ver solución

Simplificamos por separado el numerador y el denominador:

\[\begin{aligned} 1+\frac{1}{2} &=\frac{3}{2},\\ 1-\frac{1}{3} &=\frac{2}{3}. \end{aligned}\]

Después dividimos:

\[\begin{aligned} \frac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{2}{3}} &=\frac{3}{2}\div\frac{2}{3}\\ &=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}\\ &=\frac{9}{4}. \end{aligned}\]

3.6 Conversión entre fracciones y decimales#

Teorema Conversión de fracción a decimal

Para convertir una fracción a su representación decimal, se divide el numerador entre el denominador:

\[\frac{a}{b}=a\div b, \qquad b\neq 0.\]

El resultado puede ser un decimal finito o un decimal periódico.

Teorema Conversión de decimal finito a fracción

Para convertir un decimal finito a fracción:

se escribe como numerador el número sin el punto decimal;
se utiliza como denominador una potencia de \(10\) con tantos ceros como cifras decimales tenga el número;
se simplifica la fracción resultante.

Por ejemplo:

\[0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}.\]

Teorema Conversión de decimal periódico puro

En un decimal periódico puro, el periodo comienza inmediatamente después del punto decimal. Si el periodo tiene \(n\) cifras, se escribe el periodo como numerador y un número formado por \(n\) nueves como denominador.

Por ejemplo:

\[0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\]

También:

\[0.\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}.\]

Teorema Conversión de decimal periódico mixto

En un decimal periódico mixto existe una parte no periódica entre el punto decimal y el periodo.

Para convertirlo en fracción:

se forma un número con todas las cifras hasta completar un periodo;
se resta el número formado por la parte entera y la parte decimal no periódica;
en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica;
se simplifica la fracción resultante.

Por ejemplo:

\[0.1\overline{6} = \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}.\]

Ejemplo 3.5

Convierte a fracción el decimal

\[0.4\overline{5}.\]

Ver solución

El decimal tiene una cifra no periódica, \(4\), y una cifra periódica, \(5\). Aplicamos la regla para decimales periódicos mixtos:

\[\begin{aligned} 0.4\overline{5} &=\frac{45-4}{90}\\ &=\frac{41}{90}. \end{aligned}\]

La fracción ya es irreducible. Por tanto:

\[0.4\overline{5} = \frac{41}{90}.\]

Ejemplo 3.6

Convierte a fracción el decimal

\[0.12\overline{3}.\]

Ver solución

El decimal tiene dos cifras no periódicas, \(12\), y una cifra periódica, \(3\). Por tanto:

\[\begin{aligned} 0.12\overline{3} &=\frac{123-12}{900}\\ &=\frac{111}{900}\\ &=\frac{37}{300}. \end{aligned}\]

El resultado es

\[\frac{37}{300}.\]

Ejemplo 3.7

Convierte a fracción el decimal

\[0.\overline{27}.\]

Ver solución

El decimal es periódico puro y su periodo tiene dos cifras. Por tanto:

\[\begin{aligned} 0.\overline{27} &=\frac{27}{99}\\ &=\frac{3}{11}. \end{aligned}\]

El resultado es

\[\frac{3}{11}.\]

Ejemplo 3.8

Convierte a fracción el decimal

\[2.1\overline{6}.\]

Ver solución

Podemos aplicar directamente la regla del decimal periódico mixto. El número formado hasta completar un periodo es \(216\), mientras que el número formado por la parte entera y la parte no periódica es \(21\). Por tanto:

\[\begin{aligned} 2.1\overline{6} &=\frac{216-21}{90}\\ &=\frac{195}{90}\\ &=\frac{13}{6}. \end{aligned}\]

El resultado es

\[\frac{13}{6}.\]

3.7 Operaciones con decimales#

Para sumar o restar números decimales, se alinean los puntos decimales y se completan con ceros las posiciones que sean necesarias.

Para multiplicarlos, se efectúa primero la multiplicación como si fueran números enteros. Después, se coloca el punto decimal de modo que el resultado tenga tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de los factores.

Para dividir entre un número decimal, se desplaza el punto decimal del divisor hacia la derecha hasta convertirlo en un número entero. El punto decimal del dividendo debe desplazarse la misma cantidad de lugares.

Ejemplo 3.9

Calcula

\[2.35+1.8-0.45.\]

Ver solución

Alineamos los puntos decimales y escribimos \(1.8\) como \(1.80\):

\[\begin{array}{r} 2.35\\ + 1.80\\ \hline 4.15\\ - 0.45\\ \hline 3.70 \end{array}\]

Por tanto:

\[2.35+1.8-0.45 = 3.70 = 3.7.\]

Ejemplo 3.10

Calcula

\[1.2\cdot 0.35.\]

Ver solución

Primero multiplicamos como si los factores fueran números enteros:

\[12\cdot 35=420.\]

El primer factor tiene una cifra decimal y el segundo tiene dos. El resultado debe tener, por tanto, tres cifras decimales:

\[1.2\cdot 0.35 = 0.420 = 0.42.\]

Ejemplo 3.11

Calcula

\[4.68\div 1.2.\]

Ver solución

Desplazamos el punto decimal un lugar hacia la derecha tanto en el dividendo como en el divisor:

\[4.68\div 1.2 = 46.8\div 12.\]

Después efectuamos la división:

\[46.8\div 12 = 3.9.\]

Por tanto:

\[4.68\div 1.2 = 3.9.\]

3.8 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 3.1

Simplifica la fracción

\[\frac{48}{60}\]

hasta obtener su forma irreducible.

Ver solución

MCD de 48 y 60: \(48 = 2^4 \cdot 3\), \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), \(\text{MCD} = 2^2 \cdot 3 = 12\). \[\frac{48}{60} = \frac{48 \div 12}{60 \div 12} = \frac{4}{5}.\]

Ejercicio 3.2

Calcula:

\[\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}.\]

Ver solución

\(\operatorname{mcm}(3,4,6) = 12\). \[\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6} = \frac{8 + 9 - 10}{12} = \frac{7}{12}.\]

Ejercicio 3.3

Calcula y simplifica:

\[\frac{7}{8}\cdot\frac{4}{21}.\]

Ver solución

\[\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{21} = \frac{28}{168} = \frac{1}{6}.\]

Ejercicio 3.4

Calcula y simplifica:

\[\frac{9}{10}\div\frac{3}{5}.\]

Ver solución

\[\frac{9}{10} \div \frac{3}{5} = \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{3} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}.\]

Ejercicio 3.5

Simplifica la fracción compleja:

\[\frac{ \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2} }{ \dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3} }.\]

Ver solución

Numerador: \(\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}\). Denominador: \(\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). \[\frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{4} \cdot 2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.\]

Ejercicio 3.6

Convierte a fracción irreducible el decimal

\[0.7\overline{2}.\]

Ver solución

Una cifra no periódica (7) y una cifra periódica (2): \[0.7\overline{2} = \frac{72 - 7}{90} = \frac{65}{90} = \frac{13}{18}.\]

Ejercicio 3.7

Calcula:

\[3.75-1.4+0.5.\]

Ver solución

\[3.75 - 1.4 + 0.5 = 2.35 + 0.5 = 2.85.\]

Ejercicio 3.8

Calcula:

\[0.8\cdot 2.5.\]

Ver solución

\[0.8 \times 2.5 = 2.00 = 2.\]

Ejercicio 3.9

Calcula:

\[5.04\div 1.2.\]

Ver solución

\[5.04 \div 1.2 = 50.4 \div 12 = 4.2.\]