Capítulo 4

Potencias y raíces

UNAMIPNCENEVAL

Las potencias permiten representar de manera abreviada productos repetidos, mientras que las raíces permiten recuperar números a partir de sus potencias. Sus propiedades son fundamentales para simplificar expresiones algebraicas y trabajar con funciones, ecuaciones y notación científica. En este capítulo estudiarás potencias con exponentes enteros y racionales, radicales, operaciones con raíces y racionalización.

4.1 Definición de potencia#

Definición

Sea $a$ un número real y sea $n$ un número entero positivo. La potencia $a^n$ representa el producto de $n$ factores iguales a $a$:

\[a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\text{ factores}}.\]

El número $a$ se denomina base y el número $n$, exponente.

Ejemplo 4.1

Calcula las siguientes potencias:

\[3^4, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\frac{2}{7}\right)^3, \qquad -2^5.\]

Ver solución

\[\begin{aligned} 3^4 &=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 =81,\\ (-5)^3 &=(-5)(-5)(-5) =-125,\\ \left(\frac{2}{7}\right)^3 &=\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{7} =\frac{8}{343},\\ -2^5 &=-(2^5) =-32. \end{aligned}\]

Advertencia

Los paréntesis determinan si el signo negativo forma parte de la base. Por ejemplo:

\[(-2)^4=16, \qquad -2^4=-(2^4)=-16.\]

En la primera expresión, la base es $-2$ y el exponente afecta tanto al número como a su signo. En la segunda, la base de la potencia es $2$ y el signo negativo se aplica después de calcular $2^4$.

Nota

Si la base es negativa, el signo del resultado depende de la paridad del exponente:

si el exponente es par, el resultado es positivo;
si el exponente es impar, el resultado es negativo.

Por ejemplo:

\[(-3)^4=81, \qquad (-3)^5=-243.\]

4.2 Leyes de los exponentes#

Las leyes de los exponentes permiten simplificar productos, cocientes y potencias. Sean $m,n\in\Z$. Siempre que las expresiones estén definidas, se cumplen las siguientes propiedades.

Teorema Productos cocientes y potencias

Producto de potencias con la misma base \[a^m\cdot a^n=a^{m+n}.\]
Cociente de potencias con la misma base \[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq 0.\]
Potencia de una potencia \[\left(a^m\right)^n=a^{mn}.\]
Potencia de un producto \[(ab)^n=a^n b^n.\]
Potencia de un cociente \[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq 0.\]

Teorema Exponentes cero y negativos

Exponente cero \[a^0=1, \qquad a\neq 0.\]
Exponente negativo \[a^{-n}=\frac{1}{a^n}, \qquad a\neq 0, \qquad n>0.\]

Advertencia

Las leyes de los exponentes no permiten combinar potencias con bases distintas mediante una suma. Por ejemplo:

\[2^3+3^3 \neq 5^3.\]

Tampoco debe confundirse el producto de potencias con la potencia de una suma:

\[a^n b^n=(ab)^n,\]

pero, en general,

\[a^n+b^n\neq(a+b)^n.\]

Ejemplo 4.2

Simplifica la expresión

\[\frac{2^3\cdot 2^5}{2^2}.\]

Ver solución

Primero aplicamos la ley del producto:

\[2^3\cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8.\]

Después aplicamos la ley del cociente:

\[\begin{aligned} \frac{2^8}{2^2} &=2^{8-2}\\ &=2^6\\ &=64. \end{aligned}\]

Ejemplo 4.3

Simplifica la expresión

\[\left(\frac{3^4}{3^7}\right)^{1/3}.\]

Ver solución

Aplicamos primero la ley del cociente:

\[\frac{3^4}{3^7} = 3^{4-7} = 3^{-3}.\]

Después utilizamos la potencia de una potencia:

\[\begin{aligned} \left(3^{-3}\right)^{1/3} &=3^{-1}\\ &=\frac{1}{3}. \end{aligned}\]

Ejemplo 4.4

Simplifica la expresión

\[\left(\frac{2^m}{2^{-3}}\right)^2.\]

Ver solución

Aplicamos la ley del cociente:

\[\frac{2^m}{2^{-3}} = 2^{m-(-3)} = 2^{m+3}.\]

Después elevamos la potencia al cuadrado:

\[\begin{aligned} \left(2^{m+3}\right)^2 &=2^{2(m+3)}\\ &=2^{2m+6}. \end{aligned}\]

4.3 Exponentes racionales#

Definición

Sea $a$ un número real positivo y sean $m\in\Z$ y $n\in\N$. Un exponente racional se define mediante:

\[a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m.\]

Si $m$ es negativo, entonces:

\[a^{-m/n} = \frac{1}{a^{m/n}}.\]

Ejemplo 4.5

Calcula

\[27^{2/3}.\]

Ver solución

El denominador del exponente indica la raíz y el numerador indica la potencia:

\[\begin{aligned} 27^{2/3} &=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2\\ &=3^2\\ &=9. \end{aligned}\]

Ejemplo 4.6

Calcula

\[16^{-3/4}.\]

Ver solución

El exponente negativo indica que debe tomarse el recíproco:

\[\begin{aligned} 16^{-3/4} &=\frac{1}{16^{3/4}}\\ &=\frac{1}{\left(\sqrt[4]{16}\right)^3}\\ &=\frac{1}{2^3}\\ &=\frac{1}{8}. \end{aligned}\]

4.4 Notación científica#

Definición

La notación científica permite representar números muy grandes o muy pequeños mediante una expresión de la forma

\[a\times 10^n,\]

donde

\[1\leq |a|<10 \qquad\text{y}\qquad n\in\Z.\]

El número $a$ se denomina coeficiente y $n$ indica cuántas posiciones debe desplazarse el punto decimal.

Ejemplo 4.7

Escribe los siguientes números en notación científica:

\[45{,}300{,}000 \qquad\text{y}\qquad 0.00072.\]

Ver solución

En el primer número, el punto decimal se desplaza siete lugares hacia la izquierda:

\[45{,}300{,}000 = 4.53\times 10^7.\]

En el segundo número, el punto decimal se desplaza cuatro lugares hacia la derecha:

\[0.00072 = 7.2\times 10^{-4}.\]

Teorema Operaciones en notación científica

Para multiplicar números en notación científica, se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes:

\[(a\times 10^m)(b\times 10^n) = ab\times 10^{m+n}.\]

Para dividirlos, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes:

\[\frac{a\times 10^m}{b\times 10^n} = \frac{a}{b}\times 10^{m-n}, \qquad b\neq 0.\]

Después de realizar la operación, el resultado debe ajustarse para que el valor absoluto del coeficiente se encuentre entre $1$ y $10$.

Ejemplo 4.8

Calcula y expresa en notación científica:

\[(3\times 10^5)(4\times 10^{-2}).\]

Ver solución

Multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes:

\[\begin{aligned} (3\times 10^5)(4\times 10^{-2}) &=12\times 10^{5-2}\\ &=12\times 10^3. \end{aligned}\]

El coeficiente $12$ no se encuentra entre $1$ y $10$. Por tanto, ajustamos la expresión:

\[12\times 10^3 = 1.2\times 10^4.\]

4.5 Radicales#

Definición

Sea $n$ un número entero mayor que $1$. La raíz $n$-ésima de un número real $a$ es un número $b$ que satisface

\[b^n=a.\]

Se representa mediante:

\[\sqrt[n]{a}=b.\]

El número $n$ se denomina índice, el número $a$ es el radicando y el símbolo $\sqrt{\phantom{x}}$ recibe el nombre de radical.

Nota

En el conjunto de los números reales deben considerarse las siguientes condiciones:

Si el índice es par, el radicando debe ser mayor o igual que cero.
Si el índice es impar, el radicando puede ser cualquier número real.

Por ejemplo:

\[\sqrt{9}=3, \qquad \sqrt[3]{-8}=-2.\]

En cambio, $\sqrt{-4}$ no es un número real.

Advertencia

El símbolo $\sqrt{a}$ representa la raíz cuadrada principal, que es no negativa. Por tanto:

\[\sqrt{9}=3,\]

no $\pm 3$. El símbolo $\pm$ aparece al resolver una ecuación como

\[x^2=9,\]

cuyas soluciones son

\[x=\pm 3.\]

Teorema Propiedades de los radicales

Siempre que las expresiones estén definidas, se cumplen las siguientes propiedades:

Raíz de una potencia \[\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} |a|, & \text{si $n$ es par},\\ a, & \text{si $n$ es impar}. \end{cases}\]
Raíz de un producto \[\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}.\]
Raíz de un cociente \[\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \qquad b\neq 0.\]
Raíz de una raíz \[\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}.\]
Relación con los exponentes racionales \[\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}.\]

Cuando alguno de los índices es par, los radicandos correspondientes deben ser no negativos.

4.6 Simplificación de radicales#

Simplificar un radical consiste en extraer del radicando los factores que sean potencias perfectas del mismo grado que el índice.

Ejemplo 4.9

Simplifica

\[\sqrt{8}.\]

Ver solución

Descomponemos $8$ de manera que aparezca un cuadrado perfecto:

\[8 = 2^3 = 2^2\cdot 2.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} \sqrt{8} &=\sqrt{2^2\cdot 2}\\ &=\sqrt{2^2}\sqrt{2}\\ &=2\sqrt{2}. \end{aligned}\]

Ejemplo 4.10

Simplifica

\[\sqrt[3]{54}.\]

Ver solución

Descomponemos $54$ de manera que aparezca un cubo perfecto:

\[54 = 2\cdot 27 = 2\cdot 3^3.\]

Entonces:

\[\begin{aligned} \sqrt[3]{54} &=\sqrt[3]{2\cdot 3^3}\\ &=\sqrt[3]{3^3}\sqrt[3]{2}\\ &=3\sqrt[3]{2}. \end{aligned}\]

Ejemplo 4.11

Simplifica

\[\sqrt[4]{128}.\]

Ver solución

Descomponemos $128$ de manera que aparezca una cuarta potencia:

\[128 = 2^7 = 2^4\cdot 2^3.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} \sqrt[4]{128} &=\sqrt[4]{2^4\cdot 2^3}\\ &=\sqrt[4]{2^4}\sqrt[4]{2^3}\\ &=2\sqrt[4]{8}. \end{aligned}\]

4.7 Operaciones con radicales#

Teorema Suma y resta de radicales semejantes

Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Sus coeficientes pueden sumarse o restarse:

\[a\sqrt[n]{d} + b\sqrt[n]{d} - c\sqrt[n]{d} = (a+b-c)\sqrt[n]{d}.\]

Si los radicales no son semejantes inicialmente, deben simplificarse para determinar si pueden combinarse.

Ejemplo 4.12

Simplifica

\[\sqrt{18}-\sqrt{50}+\sqrt{98}.\]

Ver solución

Simplificamos cada radical:

\[\begin{aligned} \sqrt{18} &=\sqrt{9\cdot 2} =3\sqrt{2},\\ \sqrt{50} &=\sqrt{25\cdot 2} =5\sqrt{2},\\ \sqrt{98} &=\sqrt{49\cdot 2} =7\sqrt{2}. \end{aligned}\]

Los radicales resultantes son semejantes. Por tanto:

\[\begin{aligned} 3\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7\sqrt{2} &=(3-5+7)\sqrt{2}\\ &=5\sqrt{2}. \end{aligned}\]

Teorema Multiplicación y división de radicales

Si los radicales tienen el mismo índice, pueden multiplicarse o dividirse mediante:

\[\begin{aligned} \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} &=\sqrt[n]{ab},\\ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} &=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}, \qquad b\neq 0. \end{aligned}\]

Cuando el índice es par, los radicandos deben ser no negativos y el radicando del denominador debe ser positivo.

Ejemplo 4.13

Simplifica

\[\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} \qquad\text{y}\qquad \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}.\]

Ver solución

Aplicamos las propiedades de producto y cociente de radicales:

\[\begin{aligned} \sqrt{3}\cdot\sqrt{2} &=\sqrt{6},\\ \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} &=\sqrt{\frac{15}{3}}\\ &=\sqrt{5}. \end{aligned}\]

4.8 Racionalización#

Definición

Racionalizar una expresión fraccionaria consiste en transformarla en otra equivalente que no tenga radicales en el denominador.

Ejemplo 4.14

Racionaliza

\[\frac{1}{\sqrt{2}}.\]

Ver solución

Multiplicamos el numerador y el denominador por $\sqrt{2}$:

\[\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]

Ejemplo 4.15

Racionaliza

\[\frac{6}{\sqrt{3}}.\]

Ver solución

Multiplicamos el numerador y el denominador por $\sqrt{3}$:

\[\begin{aligned} \frac{6}{\sqrt{3}} &= \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\ &= \frac{6\sqrt{3}}{3}\\ &= 2\sqrt{3}. \end{aligned}\]

Ejemplo 4.16

Racionaliza

\[\frac{1}{3+\sqrt{2}}.\]

Ver solución

El conjugado del denominador es $3-\sqrt{2}$. Multiplicamos el numerador y el denominador por esta expresión:

\[\begin{aligned} \frac{1}{3+\sqrt{2}} &= \frac{1}{3+\sqrt{2}} \cdot \frac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\\ &= \frac{3-\sqrt{2}} {(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}\\ &= \frac{3-\sqrt{2}}{9-2}\\ &= \frac{3-\sqrt{2}}{7}. \end{aligned}\]

Advertencia

Cuando el denominador es un binomio que contiene un radical cuadrático, se multiplica por su conjugado.

Los conjugados

\[a+b \qquad\text{y}\qquad a-b\]

satisfacen:

\[(a+b)(a-b) = a^2-b^2.\]

Esta identidad permite eliminar el radical del denominador en expresiones como

\[\frac{1}{a+\sqrt{b}}.\]

4.9 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 4.1

Calcula:

\[(-3)^4, \qquad -3^4, \qquad (-3)^{-2}.\]

Ver solución

\[(-3)^4 = 81, \quad -3^4 = -81, \quad (-3)^{-2} = \frac{1}{9}.\]

Ejercicio 4.2

Simplifica:

\[\frac{5^7\cdot 5^{-3}}{5^2}.\]

Ver solución

\[\frac{5^7 \cdot 5^{-3}}{5^2} = \frac{5^{7-3}}{5^2} = \frac{5^4}{5^2} = 5^{4-2} = 5^2 = 25.\]

Ejercicio 4.3

Simplifica y expresa el resultado sin exponentes negativos:

\[\left(a^3b^{-2}\right)^4,\]

donde $a\neq 0$ y $b\neq 0$.

Ver solución

\[(a^3 b^{-2})^4 = a^{12} b^{-8} = \frac{a^{12}}{b^8}.\]

Ejercicio 4.4

Calcula:

\[64^{2/3} \qquad\text{y}\qquad 81^{-1/2}.\]

Ver solución

\[64^{2/3} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16, \qquad 81^{-1/2} = \frac{1}{81^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{81}} = \frac{1}{9}.\]

Ejercicio 4.5

Escribe el número

\[0.000000345\]

en notación científica.

Ver solución

\[0.000000345 = 3.45 \times 10^{-7}.\]

Ejercicio 4.6

Calcula y expresa en notación científica:

\[(6\times 10^4)(2\times 10^{-7}).\]

Ver solución

\[(6 \times 10^4)(2 \times 10^{-7}) = 12 \times 10^{-3} = 1.2 \times 10^{-2}.\]

Ejercicio 4.7

Simplifica:

\[\sqrt{72}.\]

Ver solución

$72 = 36 \cdot 2$. \[\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}.\]

Ejercicio 4.8

Simplifica:

\[\sqrt[3]{40}.\]

Ver solución

$40 = 8 \cdot 5$. \[\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}.\]

Ejercicio 4.9

Simplifica:

\[\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}.\]

Ver solución

Simplificamos cada radical: \[\sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \quad \sqrt{27} = 3\sqrt{3}, \quad \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.\] Sumamos: \[2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \sqrt{3}.\]

Ejercicio 4.10

Racionaliza:

\[\frac{4}{\sqrt{5}}.\]

Ver solución

\[\frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}.\]

Ejercicio 4.11

Racionaliza:

\[\frac{2}{4-\sqrt{3}}.\]

Ver solución

Multiplicamos por el conjugado $4 + \sqrt{3}$: \[\frac{2}{4 - \sqrt{3}} \cdot \frac{4 + \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} = \frac{2(4 + \sqrt{3})}{16 - 3} = \frac{2(4 + \sqrt{3})}{13} = \frac{8 + 2\sqrt{3}}{13}.\]