Capítulo 5

Razones, proporciones y porcentajes

UNAMIPNCENEVAL

Las razones, las proporciones y los porcentajes permiten comparar cantidades, calcular variaciones e interpretar relaciones entre magnitudes. Estas herramientas se aplican en situaciones como la comparación de precios, el cálculo de descuentos, la distribución de cantidades y el ajuste de escalas. En este capítulo aprenderás a identificar relaciones de proporcionalidad directa e inversa, resolver problemas mediante proporciones y calcular porcentajes, aumentos y descuentos.

5.1 Razones#

Definición

Una razón es la comparación entre dos cantidades mediante un cociente. La razón de $a$ respecto de $b$ puede escribirse como

\[\frac{a}{b} \qquad\text{o}\qquad a:b, \qquad b\neq 0,\]

y se lee “$a$ es a $b$”.

Nota

Para interpretar correctamente una razón, las cantidades comparadas deben estar expresadas en unidades compatibles. Si tienen la misma unidad, la razón es un número sin unidades. Si representan magnitudes distintas, la razón puede conservar unidades.

Por ejemplo:

\[\frac{120\ \text{km}}{2\ \text{h}} = 60\ \text{km/h}.\]

Ejemplo 5.1

En un grupo hay $18$ estudiantes inscritos en un taller de música y $12$ inscritos en un taller de pintura. Expresa la razón entre las cantidades de estudiantes de ambos talleres y la razón entre los estudiantes del taller de pintura y el total.

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La razón entre los estudiantes del taller de música y los del taller de pintura es:

\[\frac{18}{12} = \frac{3}{2}.\]

Esto significa que por cada $3$ estudiantes inscritos en música hay $2$ inscritos en pintura.

El total de estudiantes es:

\[18+12=30.\]

La razón entre los estudiantes de pintura y el total es:

\[\frac{12}{30} = \frac{2}{5}.\]

Por tanto, los estudiantes del taller de pintura representan $\frac{2}{5}$ del total.

5.2 Proporciones#

Definición

Una proporción es una igualdad entre dos razones:

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \qquad b\neq 0, \qquad d\neq 0.\]

Teorema Producto cruzado

Si $b\neq 0$ y $d\neq 0$, entonces:

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc.\]

Los términos $a$ y $d$ se denominan extremos, mientras que $b$ y $c$ se denominan medios. Por tanto, en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Ejemplo 5.2

Encuentra el valor de $x$ en la proporción

\[\frac{x}{3} = \frac{12}{4}.\]

Ver solución

Aplicamos el producto cruzado:

\[\begin{aligned} 4x &=3\cdot 12,\\ 4x &=36,\\ x &=9. \end{aligned}\]

Ejemplo 5.3

Encuentra el valor de $y$ en la proporción

\[\frac{7}{y} = \frac{10}{2}.\]

Ver solución

Como $y$ aparece en un denominador, debe cumplirse $y\neq 0$. Aplicamos el producto cruzado:

\[\begin{aligned} 7\cdot 2 &=10y,\\ 14 &=10y,\\ y &=\frac{14}{10}\\ &=\frac{7}{5}. \end{aligned}\]

El valor obtenido es distinto de cero, por lo que es válido.

5.3 Proporcionalidad directa#

Definición

Dos magnitudes $x$ y $y$ son directamente proporcionales si existe una constante $k$ tal que

\[y=kx.\]

En este caso, el cociente entre los valores correspondientes es constante:

\[\frac{y}{x}=k, \qquad x\neq 0.\]

Por tanto, si una magnitud se multiplica por un factor, la otra se multiplica por el mismo factor.

Ejemplo 5.4

Si $5$ cuadernos cuestan $175, ¿cuánto cuestan $12$ cuadernos, suponiendo que todos tienen el mismo precio?

Ver solución

El costo es directamente proporcional al número de cuadernos porque el precio por unidad permanece constante. Planteamos la proporción:

\[\frac{5}{175} = \frac{12}{x}.\]

Aplicamos el producto cruzado:

\[\begin{aligned} 5x &=175\cdot 12,\\ 5x &=2100,\\ x &=\frac{2100}{5}\\ &=420. \end{aligned}\]

Los $12$ cuadernos cuestan $420.

Ejemplo 5.5

Un ciclista recorre $84$ km en $3$ horas. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en $5$ horas si mantiene una velocidad constante?

Ver solución

Si la velocidad permanece constante, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo. Planteamos:

\[\frac{84}{3} = \frac{x}{5}.\]

Aplicamos el producto cruzado:

\[\begin{aligned} 3x &=84\cdot 5,\\ 3x &=420,\\ x &=140. \end{aligned}\]

El ciclista recorrerá $140$ km.

5.4 Proporcionalidad inversa#

Definición

Dos magnitudes $x$ y $y$ son inversamente proporcionales si existe una constante $k$ tal que

\[xy=k.\]

En este caso, si una magnitud se multiplica por un factor distinto de cero, la otra se divide entre ese mismo factor.

Ejemplo 5.6

Cuatro trabajadores construyen un muro en $12$ días. ¿En cuántos días lo construirán $6$ trabajadores, si todos trabajan al mismo ritmo y durante la misma cantidad de horas al día?

Ver solución

Bajo estas condiciones, el número de trabajadores y el tiempo necesario son inversamente proporcionales. Por tanto, su producto permanece constante:

\[4\cdot 12 = 6\cdot x.\]

Despejamos $x$:

\[\begin{aligned} 48 &=6x,\\ x &=8. \end{aligned}\]

Los $6$ trabajadores tardarán $8$ días.

Ejemplo 5.7

Un automóvil circula a una velocidad constante de $60$ km/h y tarda $3$ horas en recorrer una ruta. ¿Qué velocidad constante necesitará para recorrer la misma distancia en $2$ horas?

Ver solución

Para una distancia fija, la velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales. Por tanto:

\[60\cdot 3 = x\cdot 2.\]

Despejamos $x$:

\[\begin{aligned} 180 &=2x,\\ x &=90. \end{aligned}\]

El automóvil deberá mantener una velocidad de $90$ km/h.

Advertencia

No basta con observar que dos magnitudes aumentan o disminuyen para afirmar que existe proporcionalidad.

En una relación directamente proporcional, el cociente entre los valores correspondientes debe ser constante:

\[\frac{y}{x}=k.\]

En una relación inversamente proporcional, el producto debe ser constante:

\[xy=k.\]

Antes de aplicar una regla de tres, identifica qué cantidad debe permanecer constante y verifica que los supuestos del problema justifiquen la relación de proporcionalidad.

5.5 Porcentajes#

Definición

Un porcentaje es una razón cuyo denominador es $100$. La expresión $p\%$ equivale a:

\[p\% = \frac{p}{100}.\]

Por tanto, el $p\%$ de una cantidad $N$ se calcula mediante:

\[\frac{p}{100}N.\]

Ejemplo 5.8

Calcula el $25\%$ de $240$.

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Convertimos el porcentaje en una fracción con denominador $100$:

\[\begin{aligned} 25\%\text{ de }240 &=\frac{25}{100}\cdot 240\\ &=\frac{1}{4}\cdot 240\\ &=60. \end{aligned}\]

Ejemplo 5.9

¿Qué porcentaje de $80$ es $20$?

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Sea $p$ el porcentaje buscado. Podemos calcularlo mediante:

\[p = \frac{\text{parte}}{\text{total}}\cdot 100.\]

Sustituimos los valores:

\[\begin{aligned} p &=\frac{20}{80}\cdot 100\\ &=\frac{1}{4}\cdot 100\\ &=25. \end{aligned}\]

Por tanto, $20$ es el $25\%$ de $80$.

Teorema Porcentaje de cambio

Si una cantidad cambia de un valor inicial $V_i$ a un valor final $V_f$, el porcentaje de cambio se calcula mediante:

\[\text{porcentaje de cambio} = \frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot 100\%, \qquad V_i\neq 0.\]

Si el resultado es positivo, representa un aumento. Si es negativo, representa una disminución.

Ejemplo 5.10

El precio de un producto aumenta de $450 a $540. Determina el porcentaje de aumento.

Ver solución

El aumento es:

\[540-450=90.\]

Comparamos el aumento con el precio inicial:

\[\begin{aligned} \text{porcentaje de aumento} &=\frac{90}{450}\cdot 100\%\\ &=20\%. \end{aligned}\]

El precio aumentó un $20\%$.

5.6 Aumentos y descuentos#

Teorema Factores de aumento y descuento

Si una cantidad inicial $P$ aumenta en $p\%$, el valor final es:

\[P_{\text{final}} = P\left(1+\frac{p}{100}\right).\]

El número

\[1+\frac{p}{100}\]

se denomina factor de aumento.

Si la cantidad inicial disminuye en $p\%$, el valor final es:

\[P_{\text{final}} = P\left(1-\frac{p}{100}\right).\]

El número

\[1-\frac{p}{100}\]

se denomina factor de descuento.

Ejemplo 5.11

Una camisa cuesta $450 y tiene un descuento del $30\%$. ¿Cuál es su precio final?

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El factor de descuento es:

\[1-\frac{30}{100} = 0.70.\]

Aplicamos este factor al precio original:

\[\begin{aligned} P_{\text{final}} &=450(0.70)\\ &=315. \end{aligned}\]

El precio final es $315.

Ejemplo 5.12

Un producto cuesta $1200 y se le aplica un aumento del $15\%$. ¿Cuál es su precio final?

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El factor de aumento es:

\[1+\frac{15}{100} = 1.15.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} P_{\text{final}} &=1200(1.15)\\ &=1380. \end{aligned}\]

El precio final es $1380.

Ejemplo 5.13

Un comerciante vende un artículo en $112 y obtiene una ganancia equivalente al $40\%$ del costo. ¿Cuál fue el costo del artículo?

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Sea $C$ el costo del artículo. Como la ganancia es el $40\%$ del costo, el precio de venta representa el $140\%$ del costo:

\[112 = C\left(1+\frac{40}{100}\right).\]

Entonces:

\[\begin{aligned} 112 &=1.4C,\\ C &=\frac{112}{1.4}\\ &=80. \end{aligned}\]

El costo del artículo fue de $80.

5.7 Cambios porcentuales sucesivos#

Cuando se aplican varios aumentos o descuentos sucesivos, sus porcentajes no deben sumarse ni restarse directamente. Deben multiplicarse los factores correspondientes.

Teorema Factor acumulado

Si una cantidad recibe cambios porcentuales sucesivos con factores $f_1,f_2,\ldots,f_n$, entonces:

\[P_{\text{final}} = P_{\text{inicial}}f_1f_2\cdots f_n.\]

Por ejemplo, un aumento del $p\%$ seguido de un descuento del $q\%$ produce:

\[P_{\text{final}} = P_{\text{inicial}} \left(1+\frac{p}{100}\right) \left(1-\frac{q}{100}\right).\]

Ejemplo 5.14

Un precio aumenta un $20\%$ y después disminuye un $20\%$. Determina qué porcentaje del precio original representa el valor final.

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El factor de aumento es $1.20$ y el factor de descuento es $0.80$. Por tanto:

\[\begin{aligned} P_{\text{final}} &=P_{\text{inicial}}(1.20)(0.80)\\ &=0.96P_{\text{inicial}}. \end{aligned}\]

El precio final representa el $96\%$ del precio original. Por tanto, la variación total es una disminución del $4\%$.

Advertencia

Un aumento del $p\%$ seguido de una disminución del mismo $p\%$ no devuelve, en general, la cantidad a su valor inicial. El segundo porcentaje se calcula sobre una base distinta de la primera.

Para regresar al valor inicial después de un aumento del $p\%$, debe aplicarse un descuento calculado sobre el nuevo valor, no simplemente el mismo porcentaje.

5.8 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 5.1

En una caja hay $24$ canicas rojas y $36$ azules. Expresa y simplifica la razón entre las canicas rojas y las azules, así como la razón entre las azules y el total.

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La razón entre canicas rojas y azules es: \[\frac{24}{36} = \frac{2}{3}.\] El total de canicas es $24 + 36 = 60$. La razón entre las azules y el total es: \[\frac{36}{60} = \frac{3}{5}.\]

Ejercicio 5.2

Encuentra el valor de $x$ en la proporción:

\[\frac{x}{5} = \frac{21}{3}.\]

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Aplicamos el producto cruzado: \[3x = 5 \cdot 21 \implies 3x = 105 \implies x = 35.\]

Ejercicio 5.3

Si $8$ litros de pintura cubren $120\ \text{m}^2$ de pared, ¿cuántos litros se necesitan para cubrir $300\ \text{m}^2$, suponiendo que el rendimiento de la pintura permanece constante?

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La cantidad de pintura es directamente proporcional al área a cubrir. \[\frac{8}{120} = \frac{x}{300} \implies 120x = 2400 \implies x = 20.\] Se necesitan $20$ litros de pintura.

Ejercicio 5.4

Cinco máquinas iguales producen $800$ piezas en $4$ horas. ¿Cuánto tiempo tardarán $8$ máquinas en producir la misma cantidad de piezas si todas trabajan simultáneamente y al mismo ritmo?

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El número de máquinas y el tiempo son inversamente proporcionales: \[5 \cdot 4 = 8 \cdot x \implies 20 = 8x \implies x = \frac{20}{8} = 2.5.\] Tardarán $2.5$ horas.

Ejercicio 5.5

Calcula el $15\%$ de $320$.

Ver solución

\[15\% \text{ de } 320 = \frac{15}{100} \cdot 320 = 0.15 \cdot 320 = 48.\]

Ejercicio 5.6

¿Qué porcentaje de $250$ es $75$?

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\[\frac{75}{250} \cdot 100 = \frac{3}{10} \cdot 100 = 30.\] $75$ es el $30\%$ de $250$.

Ejercicio 5.7

Un pantalón cuesta $680 y tiene un descuento del $25\%$. ¿Cuál es su precio final?

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El factor de descuento es $1 - 0.25 = 0.75$. \[P_{\text{final}} = 680 \cdot 0.75 = 510.\] El precio final es $510.

Ejercicio 5.8

El precio de un producto aumentó de $450 a $540. ¿Qué porcentaje de aumento tuvo respecto de su precio inicial?

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El aumento es $540 - 450 = 90$. \[\frac{90}{450} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%.\] Tuvo un aumento del $20\%$.

Ejercicio 5.9

Un comerciante vende un artículo en $690 y obtiene una ganancia equivalente al $15\%$ del costo. ¿Cuál fue el costo del artículo?

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El precio de venta representa el $115\%$ del costo. \[690 = C(1.15) \implies C = \frac{690}{1.15} = 600.\] El costo fue de $600.

Ejercicio 5.10

Un artículo recibe primero un descuento del $10\%$ y después otro descuento del $20\%$. Determina qué porcentaje del precio original se paga y cuál es el descuento total equivalente.

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El factor acumulado es: \[P_{\text{final}} = P_{\text{inicial}}(1 - 0.10)(1 - 0.20) = P_{\text{inicial}}(0.90)(0.80) = 0.72 P_{\text{inicial}}.\] Se paga el $72\%$ del precio original, lo que equivale a un descuento total del $28\%$.