Capítulo 6

Expresiones algebraicas

UNAMIPNCENEVAL

El álgebra utiliza letras para representar cantidades conocidas, desconocidas o variables. Una expresión algebraica combina números, variables y operaciones para describir relaciones matemáticas de manera general. En este capítulo aprenderás a identificar los elementos de una expresión algebraica, traducir enunciados al lenguaje algebraico, reducir términos semejantes, calcular valores numéricos y realizar operaciones básicas con polinomios.

6.1 Términos algebraicos#

Definición

Un término algebraico es una expresión formada por el producto de un coeficiente y una parte literal. Por ejemplo:

\[4x^2y^3.\]

En este término, \(4\) es el coeficiente y \(x^2y^3\) es la parte literal. Las letras \(x\) y \(y\) son las variables, mientras que \(2\) y \(3\) son sus exponentes respectivos.

Ejemplo 6.1

Identifica el coeficiente y la parte literal de los siguientes términos:

\[4x^2y^3, \qquad -3mn, \qquad \frac{2}{5}a^4b^2c, \qquad 7, \qquad -x.\]

Ver solución

En \(4x^2y^3\), el coeficiente es \(4\) y la parte literal es \(x^2y^3\). Los exponentes de \(x\) y \(y\) son \(2\) y \(3\), respectivamente.
En \(-3mn\), el coeficiente es \(-3\) y la parte literal es \(mn\). Los exponentes de \(m\) y \(n\) son ambos iguales a \(1\).
En \(\dfrac{2}{5}a^4b^2c\), el coeficiente es \(\dfrac{2}{5}\) y la parte literal es \(a^4b^2c\). Los exponentes de \(a\), \(b\) y \(c\) son \(4\), \(2\) y \(1\), respectivamente.
En \(7\), el coeficiente es \(7\) y no hay parte literal. Este término se denomina término constante.
En \(-x\), el coeficiente es \(-1\) y la parte literal es \(x\). El exponente de \(x\) es \(1\).

Nota

Cuando el coeficiente es \(1\) o \(-1\), normalmente no se escribe:

\[x=1x, \qquad -x=(-1)x.\]

De manera similar, cuando una variable tiene exponente \(1\), este exponente se omite:

\[x^1=x.\]

6.2 Lenguaje algebraico#

Traducir un enunciado al lenguaje algebraico consiste en representar las cantidades desconocidas mediante variables y expresar las relaciones entre ellas con operaciones matemáticas.

Algunas traducciones frecuentes son las siguientes:

un número cualquiera: \[x;\]
el doble de un número: \[2x;\]
el triple de un número: \[3x;\]
la mitad de un número: \[\frac{x}{2};\]
la tercera parte de un número: \[\frac{x}{3};\]
la suma de dos números: \[x+y;\]
la diferencia entre dos números: \[x-y;\]
el producto de dos números: \[xy;\]
el cociente de dos números: \[\frac{x}{y}, \qquad y\neq 0;\]
el cuadrado de un número: \[x^2;\]
el cubo de un número: \[x^3;\]
la suma de los cuadrados de dos números: \[x^2+y^2;\]
el cuadrado de la suma de dos números: \[(x+y)^2;\]
un número aumentado en \(5\): \[x+5;\]
un número disminuido en \(3\): \[x-3;\]
el doble de un número, aumentado en \(4\): \[2x+4.\]

Advertencia

La posición de los signos de agrupación puede cambiar por completo el significado de una expresión. Por ejemplo:

\[2x+4\]

representa el doble de un número, aumentado en \(4\). En cambio,

\[2(x+4)\]

representa el doble de la suma de un número y \(4\).

Ejemplo 6.2

Traduce los siguientes enunciados al lenguaje algebraico:

El triple de un número, disminuido en \(7\).
La suma de dos números enteros consecutivos.
El cuadrado de la diferencia entre dos números.
La mitad de un número más su tercera parte.

Ver solución

Si el número es \(x\): \[3x-7.\]
Si el primer número es \(x\), el siguiente es \(x+1\): \[x+(x+1).\]
Si los números son \(x\) y \(y\): \[(x-y)^2.\]
Si el número es \(x\): \[\frac{x}{2}+\frac{x}{3}.\]

6.3 Términos semejantes#

Definición

Dos o más términos son semejantes si tienen exactamente la misma parte literal, es decir, las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Los términos semejantes solo pueden diferir en sus coeficientes.

Ejemplo 6.3

Identifica los términos semejantes en la siguiente lista:

\[3x^2, \qquad -5x^2, \qquad 4xy, \qquad 2x, \qquad 7x^2y, \qquad -8x^2.\]

Ver solución

Los términos

\[3x^2, \qquad -5x^2 \qquad\text{y}\qquad -8x^2\]

son semejantes porque tienen la misma parte literal, \(x^2\).

Los términos \(4xy\), \(2x\) y \(7x^2y\) no son semejantes a los anteriores ni entre sí, pues sus partes literales son distintas.

Teorema Reducción de términos semejantes

Para reducir términos semejantes, se suman o restan sus coeficientes y se conserva la parte literal:

\[ax^n+bx^n-cx^n = (a+b-c)x^n.\]

Ejemplo 6.4

Reduce las siguientes expresiones:

\[4x-9x,\]

\[-3mn+7mn-2mn,\]

\[\frac{1}{2}a^2b -\frac{2}{3}a^2b +\frac{5}{6}a^2b.\]

Ver solución

En cada caso, sumamos o restamos los coeficientes:

\[\begin{aligned} 4x-9x &=(4-9)x\\ &=-5x, \\[0.6em] -3mn+7mn-2mn &=(-3+7-2)mn\\ &=2mn. \end{aligned}\]

Para la tercera expresión:

\[\begin{aligned} \frac{1}{2}a^2b -\frac{2}{3}a^2b +\frac{5}{6}a^2b &= \left( \frac{1}{2} -\frac{2}{3} +\frac{5}{6} \right)a^2b\\ &= \left( \frac{3}{6} -\frac{4}{6} +\frac{5}{6} \right)a^2b\\ &= \frac{4}{6}a^2b\\ &= \frac{2}{3}a^2b. \end{aligned}\]

Advertencia

Solo pueden reducirse términos semejantes. Por ejemplo:

\[3x+2x=5x,\]

pero

\[3x+2x^2\]

no puede reducirse, porque \(x\) y \(x^2\) tienen exponentes distintos.

6.4 Valor numérico#

Definición

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir cada variable por un valor determinado y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo 6.5

Calcula el valor numérico de

\[3x^2y\]

si \(x=2\) y \(y=-3\).

Ver solución

Sustituimos las variables por los valores correspondientes:

\[\begin{aligned} 3x^2y &=3(2)^2(-3)\\ &=3(4)(-3)\\ &=-36. \end{aligned}\]

Ejemplo 6.6

Calcula el valor numérico de

\[2m^2+5mn+n^2\]

si \(m=-2\) y \(n=-1\).

Ver solución

Sustituimos los valores entre paréntesis:

\[\begin{aligned} 2m^2+5mn+n^2 &=2(-2)^2+5(-2)(-1)+(-1)^2\\ &=2(4)+10+1\\ &=8+10+1\\ &=19. \end{aligned}\]

Advertencia

Al sustituir una variable por un número negativo, el número debe escribirse entre paréntesis. Por ejemplo:

\[-2^2 = -(2^2) = -4,\]

mientras que

\[(-2)^2 = 4.\]

Los paréntesis indican que el signo negativo forma parte de la base.

6.5 Polinomios#

Definición

Un polinomio en una o varias variables es una suma finita de términos cuyos exponentes son números enteros no negativos.

Por ejemplo:

\[3x^2-5x+4\]

es un polinomio en la variable \(x\).

Definición

Según su número de términos no nulos, un polinomio puede recibir los siguientes nombres:

Monomio: tiene un término. \[5x^2.\]
Binomio: tiene dos términos. \[3x+2.\]
Trinomio: tiene tres términos. \[x^2-4x+1.\]

La palabra polinomio se utiliza de manera general para expresiones con uno o más términos. No se reserva únicamente para las expresiones de cuatro o más términos.

Definición

El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables que forman su parte literal. El grado de un polinomio es el mayor grado entre sus términos no nulos.

Por ejemplo, en el término

\[4x^2y^3,\]

el grado es

\[2+3=5.\]

El polinomio

\[3x^4-2x^2+7\]

tiene grado \(4\).

6.6 Suma y resta de polinomios#

Para sumar polinomios, se agrupan y reducen los términos semejantes. Para restarlos, se suma el opuesto del segundo polinomio.

Ejemplo 6.7

Suma los polinomios:

\[(3x^2-5x+4)+(2x^2+7x-1).\]

Ver solución

Agrupamos los términos semejantes:

\[\begin{aligned} &(3x^2-5x+4)+(2x^2+7x-1)\\ &\qquad =3x^2+2x^2-5x+7x+4-1\\ &\qquad =5x^2+2x+3. \end{aligned}\]

Ejemplo 6.8

Resta los polinomios:

\[(5a^3-2a^2+4a-3) - (2a^3+a^2-6a+5).\]

Ver solución

Distribuimos el signo negativo a todos los términos del segundo polinomio:

\[\begin{aligned} &(5a^3-2a^2+4a-3) - (2a^3+a^2-6a+5) \\ &\qquad =5a^3-2a^2+4a-3 -2a^3-a^2+6a-5. \end{aligned}\]

Después reducimos los términos semejantes:

\[\begin{aligned} 5a^3-2a^3 &=3a^3,\\ -2a^2-a^2 &=-3a^2,\\ 4a+6a &=10a,\\ -3-5 &=-8. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[(5a^3-2a^2+4a-3) - (2a^3+a^2-6a+5) = 3a^3-3a^2+10a-8.\]

6.7 Multiplicación de polinomios#

Teorema Multiplicación de monomios

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y se suman los exponentes de las variables iguales. Por ejemplo:

\[(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}.\]

Ejemplo 6.9

Multiplica:

\[(-4x^2y^3)(-2x^4y^5).\]

Ver solución

Multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes correspondientes:

\[\begin{aligned} (-4x^2y^3)(-2x^4y^5) &=(-4)(-2)x^{2+4}y^{3+5}\\ &=8x^6y^8. \end{aligned}\]

Teorema Monomio por polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva. El monomio se multiplica por cada término del polinomio:

\[a(b+c+d) = ab+ac+ad.\]

Ejemplo 6.10

Multiplica:

\[3x^2(2x^3-5x+4).\]

Ver solución

Distribuimos el monomio entre los tres términos:

\[\begin{aligned} 3x^2(2x^3-5x+4) &=3x^2(2x^3)+3x^2(-5x)+3x^2(4)\\ &=6x^5-15x^3+12x^2. \end{aligned}\]

Teorema Polinomio por polinomio

Para multiplicar dos polinomios, cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo. Finalmente, se reducen los términos semejantes.

Ejemplo 6.11

Multiplica:

\[(3x-2)(2x+5).\]

Ver solución

Aplicamos la propiedad distributiva:

\[\begin{aligned} (3x-2)(2x+5) &=3x(2x)+3x(5)-2(2x)-2(5)\\ &=6x^2+15x-4x-10\\ &=6x^2+11x-10. \end{aligned}\]

6.8 División entre monomios#

Teorema Monomio entre monomio

Para dividir dos monomios, se dividen sus coeficientes y se restan los exponentes de las variables iguales:

\[\frac{ax^m}{bx^n} = \frac{a}{b}x^{m-n},\]

siempre que el monomio del denominador sea distinto de cero.

Ejemplo 6.12

Simplifica:

\[\frac{-18x^3y^5}{9x^2y^3}.\]

Ver solución

Dividimos los coeficientes y restamos los exponentes:

\[\begin{aligned} \frac{-18x^3y^5}{9x^2y^3} &= \frac{-18}{9}x^{3-2}y^{5-3}\\ &=-2xy^2. \end{aligned}\]

La simplificación es válida para \(x\neq 0\) y \(y\neq 0\), pues ambas variables aparecen en el denominador original.

Teorema Polinomio entre monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio:

\[\frac{a+b+c}{m} = \frac{a}{m} + \frac{b}{m} + \frac{c}{m}, \qquad m\neq 0.\]

Ejemplo 6.13

Simplifica:

\[\frac{15x^4y^5-10x^3y^6}{-5x^2y^2}.\]

Ver solución

Dividimos cada término del numerador entre el monomio:

\[\begin{aligned} \frac{15x^4y^5-10x^3y^6}{-5x^2y^2} &= \frac{15x^4y^5}{-5x^2y^2} + \frac{-10x^3y^6}{-5x^2y^2}\\ &=-3x^{4-2}y^{5-2} +2x^{3-2}y^{6-2}\\ &=-3x^2y^3+2xy^4. \end{aligned}\]

La simplificación es válida para \(x\neq 0\) y \(y\neq 0\).

Nota

La división de un polinomio entre otro polinomio se estudiará en el capítulo dedicado a las fracciones algebraicas.

6.9 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 6.1

Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado del término:

\[-7a^3b^2c.\]

Ver solución

Coeficiente: \(-7\). Parte literal: \(a^3 b^2 c\).

Ejercicio 6.2

Traduce al lenguaje algebraico:

El cuádruple de un número, aumentado en el doble de otro número.

Ver solución

\(4x + 2y\).

Ejercicio 6.3

Reduce los términos semejantes:

\[8x-3x+2x-5x.\]

Ver solución

\[8x - 3x + 2x - 5x = (8 - 3 + 2 - 5)x = 2x.\]

Ejercicio 6.4

Reduce:

\[\frac{3}{4}m^2n -\frac{1}{2}m^2n +\frac{5}{8}m^2n.\]

Ver solución

\[\frac{3}{4}m^2 n - \frac{1}{2}m^2 n + \frac{5}{8}m^2 n = \left(\frac{6 - 4 + 5}{8}\right)m^2 n = \frac{7}{8}m^2 n.\]

Ejercicio 6.5

Calcula el valor numérico de

\[x^2-3xy+2y^2\]

para \(x=3\) y \(y=-2\).

Ver solución

\[(3)^2 - 3(3)(-2) + 2(-2)^2 = 9 + 18 + 8 = 35.\]

Ejercicio 6.6

Suma los polinomios:

\[(2x^3-4x^2+5x-1) + (-x^3+3x^2-2x+4).\]

Ver solución

\[\begin{aligned} &(2x^3 - 4x^2 + 5x - 1) + (-x^3 + 3x^2 - 2x + 4) \\ &= (2-1)x^3 + (-4+3)x^2 + (5-2)x + (-1+4) \\ &= x^3 - x^2 + 3x + 3. \end{aligned}\]

Ejercicio 6.7

Resta los polinomios:

\[(4m^2-3mn+n^2) - (2m^2+5mn-3n^2).\]

Ver solución

\[\begin{aligned} &(4m^2 - 3mn + n^2) - (2m^2 + 5mn - 3n^2) \\ &= 4m^2 - 3mn + n^2 - 2m^2 - 5mn + 3n^2 \\ &= 2m^2 - 8mn + 4n^2. \end{aligned}\]

Ejercicio 6.8

Multiplica:

\[(2x-3)(x^2+4x-1).\]

Ver solución

\[\begin{aligned} (2x - 3)(x^2 + 4x - 1) &= 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 4x + 2x \cdot (-1) \\ &\quad - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 4x - 3 \cdot (-1) \\ &= 2x^3 + 8x^2 - 2x - 3x^2 - 12x + 3 \\ &= 2x^3 + 5x^2 - 14x + 3. \end{aligned}\]

Ejercicio 6.9

Simplifica:

\[\frac{12a^5b^4-8a^3b^2+4a^2b}{4a^2b}.\]

Indica las restricciones necesarias sobre las variables.

Ver solución

\[\frac{12a^5 b^4}{4a^2 b} - \frac{8a^3 b^2}{4a^2 b} + \frac{4a^2 b}{4a^2 b} = 3a^3 b^3 - 2ab + 1.\]