Capítulo 7

Productos notables

UNAMIPNCENEVAL

Los productos notables son multiplicaciones algebraicas que siguen patrones definidos. Reconocer estos patrones permite desarrollar expresiones con mayor rapidez y verificar resultados sin repetir todo el procedimiento distributivo. En este capítulo estudiarás el cuadrado y el cubo de un binomio, el producto de binomios conjugados, los binomios con término común y el binomio de Newton.

7.1 Binomio al cuadrado#

Teorema Cuadrado de un binomio

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo:

\[(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.\]

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo:

\[(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2.\]

Los resultados obtenidos son trinomios cuadrados perfectos.

Ejemplo 7.1

Desarrolla:

\[(x+5)^2.\]

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Identificamos \(a=x\) y \(b=5\). Aplicamos la fórmula correspondiente:

\[\begin{aligned} (x+5)^2 &=x^2+2(x)(5)+5^2\\ &=x^2+10x+25. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.2

Desarrolla:

\[(3m-4n)^2.\]

Ver solución

Identificamos \(a=3m\) y \(b=4n\):

\[\begin{aligned} (3m-4n)^2 &=(3m)^2-2(3m)(4n)+(4n)^2\\ &=9m^2-24mn+16n^2. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.3

Desarrolla:

\[\left(2x^3+\frac{1}{2}y\right)^2.\]

Ver solución

Aplicamos la fórmula del cuadrado de una suma:

\[\begin{aligned} \left(2x^3+\frac{1}{2}y\right)^2 &=(2x^3)^2 +2(2x^3)\left(\frac{1}{2}y\right) +\left(\frac{1}{2}y\right)^2\\ &=4x^6+2x^3y+\frac{1}{4}y^2. \end{aligned}\]

Advertencia

El cuadrado de una suma no es igual a la suma de los cuadrados. En general:

\[(a+b)^2 \neq a^2+b^2.\]

El término \(2ab\) no debe omitirse. Por ejemplo:

\[(x+3)^2 = x^2+6x+9,\]

no \(x^2+9\).

7.2 Binomios conjugados#

Definición

Dos binomios son conjugados si tienen los mismos términos, pero el signo que los separa es diferente. Por ejemplo:

\[a+b \qquad\text{y}\qquad a-b.\]

Teorema Producto de binomios conjugados

El producto de dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados:

\[(a+b)(a-b) = a^2-b^2.\]

Los términos medios que aparecen al aplicar la propiedad distributiva se cancelan entre sí.

Ejemplo 7.4

Desarrolla:

\[(x+7)(x-7).\]

Ver solución

Los binomios son conjugados. Por tanto:

\[\begin{aligned} (x+7)(x-7) &=x^2-7^2\\ &=x^2-49. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.5

Desarrolla:

\[(5m^2+3n)(5m^2-3n).\]

Ver solución

Aplicamos la diferencia de cuadrados:

\[\begin{aligned} (5m^2+3n)(5m^2-3n) &=(5m^2)^2-(3n)^2\\ &=25m^4-9n^2. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.6

Desarrolla:

\[\left(\frac{2}{3}a-\frac{1}{4}b\right) \left(\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b\right).\]

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Los factores son binomios conjugados:

\[\begin{aligned} \left(\frac{2}{3}a-\frac{1}{4}b\right) \left(\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b\right) &= \left(\frac{2}{3}a\right)^2 - \left(\frac{1}{4}b\right)^2\\ &= \frac{4}{9}a^2-\frac{1}{16}b^2. \end{aligned}\]

7.3 Binomios con término común#

Teorema Producto de binomios con término común

Si dos binomios tienen el término \(x\) en común, entonces:

\[(x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab.\]

El resultado contiene:

el cuadrado del término común;
la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el término común;
el producto de los términos no comunes.

Ejemplo 7.7

Desarrolla:

\[(x+8)(x+5).\]

Ver solución

Aplicamos la fórmula:

\[\begin{aligned} (x+8)(x+5) &=x^2+(8+5)x+(8)(5)\\ &=x^2+13x+40. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.8

Desarrolla:

\[(x+9)(x-10).\]

Ver solución

Los términos no comunes son \(9\) y \(-10\):

\[\begin{aligned} (x+9)(x-10) &=x^2+[9+(-10)]x+(9)(-10)\\ &=x^2-x-90. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.9

Desarrolla:

\[\left(3x-\frac{1}{2}\right)(3x+2).\]

Ver solución

El término común es \(3x\) y los términos no comunes son \(-\frac{1}{2}\) y \(2\):

\[\begin{aligned} \left(3x-\frac{1}{2}\right)(3x+2) &=(3x)^2 +\left(-\frac{1}{2}+2\right)(3x) +\left(-\frac{1}{2}\right)(2)\\ &=9x^2+\frac{3}{2}(3x)-1\\ &=9x^2+\frac{9}{2}x-1. \end{aligned}\]

7.4 Binomio al cubo#

Teorema Cubo de un binomio

El cubo de una suma se desarrolla mediante:

\[(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\]

El cubo de una diferencia se desarrolla mediante:

\[(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\]

En el segundo desarrollo, los signos se alternan.

Ejemplo 7.10

Desarrolla:

\[(x+2)^3.\]

Ver solución

Aplicamos la fórmula del cubo de una suma:

\[\begin{aligned} (x+2)^3 &=x^3+3x^2(2)+3x(2)^2+2^3\\ &=x^3+6x^2+12x+8. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.11

Desarrolla:

\[(2m-3n)^3.\]

Ver solución

Aplicamos la fórmula del cubo de una diferencia:

\[\begin{aligned} (2m-3n)^3 &=(2m)^3 -3(2m)^2(3n) +3(2m)(3n)^2 -(3n)^3\\ &=8m^3-36m^2n+54mn^2-27n^3. \end{aligned}\]

Advertencia

En el cubo de una diferencia, el tercer término es positivo:

\[(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\]

Los signos siguen el patrón:

\[+,\quad -,\quad +,\quad -.\]

7.5 Binomio de Newton#

UNAM

El binomio de Newton generaliza los productos notables anteriores y permite desarrollar una potencia entera no negativa de un binomio.

Teorema Binomio de Newton

Para \(n\in\N\cup\{0\}\):

\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k,\]

donde

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

es el coeficiente binomial.

El desarrollo contiene \(n+1\) términos.

Teorema Término general

Al numerar los términos del desarrollo desde \(1\), el término que ocupa la posición \(r\) está dado por:

\[T_r = \binom{n}{r-1} a^{n-r+1}b^{r-1}, \qquad 1\leq r\leq n+1.\]

De manera equivalente, si el índice comienza en \(k=0\), el término correspondiente es:

\[T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k}b^k.\]

Nota

El triángulo de Pascal permite obtener los coeficientes binomiales de los primeros desarrollos:

\[\begin{array}{c} 1\\[0.2em] 1\qquad 1\\[0.2em] 1\qquad 2\qquad 1\\[0.2em] 1\qquad 3\qquad 3\qquad 1\\[0.2em] 1\qquad 4\qquad 6\qquad 4\qquad 1\\[0.2em] 1\qquad 5\qquad 10\qquad 10\qquad 5\qquad 1 \end{array}\]

Las filas, comenzando desde arriba, corresponden a los valores \(n=0,1,2,3,4,5\).

Ejemplo 7.12

Desarrolla

\[(a+1)^4\]

mediante el binomio de Newton.

Ver solución

Los coeficientes correspondientes a \(n=4\) son:

\[1,\qquad 4,\qquad 6,\qquad 4,\qquad 1.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} (a+1)^4 &=a^4 +4a^3(1) +6a^2(1)^2 +4a(1)^3 +(1)^4\\ &=a^4+4a^3+6a^2+4a+1. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.13

Desarrolla:

\[(2x+y)^5.\]

Ver solución

Los coeficientes correspondientes a \(n=5\) son:

\[1,\qquad 5,\qquad 10,\qquad 10,\qquad 5,\qquad 1.\]

Entonces:

\[\begin{aligned} (2x+y)^5 &=(2x)^5 +5(2x)^4y +10(2x)^3y^2\\ &\quad +10(2x)^2y^3 +5(2x)y^4 +y^5\\ &=32x^5 +80x^4y +80x^3y^2\\ &\quad +40x^2y^3 +10xy^4 +y^5. \end{aligned}\]

Ejemplo 7.14

Encuentra el cuarto término del desarrollo de:

\[(3x^2-y)^4.\]

Ver solución

Escribimos el binomio como:

\[(3x^2+(-y))^4.\]

El cuarto término corresponde a \(r=4\) o, de manera equivalente, a \(k=3\). Utilizamos:

\[T_{k+1} = \binom{n}{k}a^{n-k}b^k.\]

Sustituimos \(n=4\), \(k=3\), \(a=3x^2\) y \(b=-y\):

\[\begin{aligned} T_4 &= \binom{4}{3} (3x^2)^{4-3} (-y)^3\\ &=4(3x^2)(-y^3)\\ &=-12x^2y^3. \end{aligned}\]

Advertencia

Cuando el segundo término del binomio es negativo, debe incluirse el signo dentro de la potencia:

\[(a-b)^n = (a+(-b))^n.\]

El factor \((-b)^k\) es positivo si \(k\) es par y negativo si \(k\) es impar. Por esta razón, los signos del desarrollo se alternan.

7.6 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 7.1

Desarrolla:

\[(x-7)^2.\]

Ver solución

\[(x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49.\]

Ejercicio 7.2

Desarrolla:

\[(4a+3b)^2.\]

Ver solución

\[(4a + 3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2.\]

Ejercicio 7.3

Desarrolla:

\[(2m^3-5n)^2.\]

Ver solución

\[(2m^3 - 5n)^2 = 4m^6 - 20m^3 n + 25n^2.\]

Ejercicio 7.4

Desarrolla:

\[(x+9)(x-9).\]

Ver solución

\[(x + 9)(x - 9) = x^2 - 81.\]

Ejercicio 7.5

Desarrolla:

\[(3a^2+2b)(3a^2-2b).\]

Ver solución

\[(3a^2 + 2b)(3a^2 - 2b) = 9a^4 - 4b^2.\]

Ejercicio 7.6

Desarrolla:

\[(x+6)(x-4).\]

Ver solución

\[(x + 6)(x - 4) = x^2 + 2x - 24.\]

Ejercicio 7.7

Desarrolla:

\[(y-8)(y-3).\]

Ver solución

\[(y - 8)(y - 3) = y^2 - 11y + 24.\]

Ejercicio 7.8

Desarrolla:

\[(x+4)^3.\]

Ver solución

\[(x + 4)^3 = x^3 + 12x^2 + 48x + 64.\]

Ejercicio 7.9

Desarrolla:

\[(2a-b)^3.\]

Ver solución

\[(2a - b)^3 = 8a^3 - 12a^2 b + 6ab^2 - b^3.\]

Ejercicio 7.10

UNAM

Desarrolla mediante el binomio de Newton:

\[(a+2)^5.\]

Ver solución

Coeficientes para \(n = 5\): \(1, 5, 10, 10, 5, 1\). \[(a + 2)^5 = a^5 + 10a^4 + 40a^3 + 80a^2 + 80a + 32.\]

Ejercicio 7.11

UNAM

Encuentra el cuarto término del desarrollo de:

\[(x-2y)^5.\]

Ver solución

El cuarto término corresponde a \(k = 3\): \[\binom{5}{3} x^{5-3} (-2y)^3 = 10 \cdot x^2 \cdot (-8y^3) = -80x^2 y^3.\]