Capítulo 8

Factorización

UNAMIPNCENEVAL

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto de factores más sencillos. Este proceso es inverso al desarrollo de productos y permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ecuaciones y encontrar los ceros de un polinomio. En este capítulo estudiarás los principales procedimientos de factorización y aprenderás a identificar cuál debe aplicarse en cada caso.

8.1 Factor común#

Antes de aplicar cualquier otro método de factorización, conviene verificar si todos los términos de la expresión tienen un factor común.

Teorema Factor común monomio

Si todos los términos de un polinomio contienen un mismo factor, este puede extraerse mediante la propiedad distributiva:

\[ab+ac = a(b+c).\]

Para obtener el máximo factor común de varios monomios:

se calcula el máximo común divisor de sus coeficientes;
se identifican las variables presentes en todos los términos;
para cada variable común, se toma el menor exponente.

Ejemplo 8.1

Factoriza:

\[3x^2+6x.\]

Ver solución

El máximo común divisor de \(3\) y \(6\) es \(3\). La variable \(x\) aparece en ambos términos y su menor exponente es \(1\). Por tanto, el máximo factor común es \(3x\):

\[\begin{aligned} 3x^2+6x &=3x(x)+3x(2)\\ &=3x(x+2). \end{aligned}\]

Ejemplo 8.2

Factoriza:

\[24m^3+16m^2-4m.\]

Ver solución

El máximo común divisor de \(24\), \(16\) y \(4\) es \(4\). La variable \(m\) aparece en todos los términos y su menor exponente es \(1\). Por tanto:

\[\begin{aligned} 24m^3+16m^2-4m &=4m(6m^2+4m-1). \end{aligned}\]

El polinomio que permanece entre paréntesis no tiene otro factor común distinto de \(1\).

Teorema Factor común por agrupación

La factorización por agrupación se utiliza cuando no existe un factor común a todos los términos, pero estos pueden organizarse en grupos que produzcan un mismo factor binomial.

Por ejemplo:

\[\begin{aligned} ax+ay+bx+by &=a(x+y)+b(x+y)\\ &=(a+b)(x+y). \end{aligned}\]

Ejemplo 8.3

Factoriza:

\[m^2+mp+mx+px.\]

Ver solución

Agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos:

\[\begin{aligned} m^2+mp+mx+px &=(m^2+mp)+(mx+px)\\ &=m(m+p)+x(m+p). \end{aligned}\]

Los dos grupos contienen el factor común \(m+p\). Por tanto:

\[m^2+mp+mx+px = (m+p)(m+x).\]

Ejemplo 8.4

Factoriza:

\[7x-1-7xy+y.\]

Ver solución

Reordenamos y agrupamos los términos:

\[\begin{aligned} 7x-1-7xy+y &=(7x-7xy)+(-1+y)\\ &=7x(1-y)-(1-y). \end{aligned}\]

Extraemos el factor común \(1-y\):

\[7x-1-7xy+y = (1-y)(7x-1).\]

8.2 Diferencia de cuadrados#

Teorema Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de dos binomios conjugados:

\[a^2-b^2 = (a+b)(a-b).\]

Para aplicar esta identidad, ambos términos deben ser cuadrados perfectos y deben estar separados por un signo negativo.

Ejemplo 8.5

Factoriza:

\[4x^2-9.\]

Ver solución

Expresamos cada término como un cuadrado:

\[4x^2=(2x)^2, \qquad 9=3^2.\]

Aplicamos la diferencia de cuadrados:

\[\begin{aligned} 4x^2-9 &=(2x)^2-3^2\\ &=(2x+3)(2x-3). \end{aligned}\]

Ejemplo 8.6

Factoriza:

\[m^2-\frac{n^2}{4}.\]

Ver solución

Observamos que:

\[m^2=(m)^2, \qquad \frac{n^2}{4} = \left(\frac{n}{2}\right)^2.\]

Por tanto:

\[m^2-\frac{n^2}{4} = \left(m+\frac{n}{2}\right) \left(m-\frac{n}{2}\right).\]

Advertencia

La identidad de diferencia de cuadrados no se aplica a una suma:

\[a^2+b^2 \neq (a+b)(a-b).\]

En general, una suma de cuadrados no puede factorizarse como producto de polinomios con coeficientes reales. En los números complejos sí puede escribirse como:

\[a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi).\]

8.3 Trinomio cuadrado perfecto#

Teorema Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto tiene alguna de las siguientes formas:

\[\begin{aligned} a^2+2ab+b^2 &=(a+b)^2,\\ a^2-2ab+b^2 &=(a-b)^2. \end{aligned}\]

Para identificarlo, deben cumplirse tres condiciones:

el primer término es un cuadrado perfecto;
el tercer término es un cuadrado perfecto;
el término central es el doble producto de las raíces cuadradas de los términos extremos, con el signo correspondiente.

Ejemplo 8.7

Factoriza:

\[m^2+12m+36.\]

Ver solución

Los términos extremos son cuadrados perfectos:

\[m^2=(m)^2, \qquad 36=6^2.\]

El doble producto de sus raíces es:

\[2(m)(6)=12m,\]

que coincide con el término central. Por tanto:

\[m^2+12m+36 = (m+6)^2.\]

Ejemplo 8.8

Factoriza:

\[m^2-18mn+81n^2.\]

Ver solución

Las raíces cuadradas de los términos extremos son \(m\) y \(9n\):

\[m^2=(m)^2, \qquad 81n^2=(9n)^2.\]

El doble producto es:

\[2(m)(9n)=18mn.\]

Como el término central es negativo:

\[m^2-18mn+81n^2 = (m-9n)^2.\]

Ejemplo 8.9

Encuentra los valores de \(n\) para que

\[x^2+nx+25\]

sea un trinomio cuadrado perfecto.

Ver solución

Las raíces cuadradas de los términos extremos son \(x\) y \(5\). El término central puede ser el doble producto positivo o negativo:

\[2(x)(5)=10x\]

\[-2(x)(5)=-10x.\]

Por tanto:

\[n=10 \qquad\text{o}\qquad n=-10.\]

En efecto:

\[\begin{aligned} x^2+10x+25 &=(x+5)^2,\\ x^2-10x+25 &=(x-5)^2. \end{aligned}\]

8.4 Trinomio de la forma \(x^2+bx+c\)#

Teorema Trinomio mónico de segundo grado

Un trinomio de la forma

\[x^2+bx+c\]

puede factorizarse como:

\[x^2+bx+c = (x+p)(x+q),\]

si existen dos números \(p\) y \(q\) que satisfacen:

\[p+q=b \qquad\text{y}\qquad pq=c.\]

Este procedimiento produce una factorización con números enteros cuando \(p\) y \(q\) son enteros.

Ejemplo 8.10

Factoriza:

\[x^2+7x+12.\]

Ver solución

Buscamos dos números cuya suma sea \(7\) y cuyo producto sea \(12\):

\[4+3=7, \qquad (4)(3)=12.\]

Por tanto:

\[x^2+7x+12 = (x+4)(x+3).\]

Ejemplo 8.11

Factoriza:

\[x^2-5x-24.\]

Ver solución

Buscamos dos números cuya suma sea \(-5\) y cuyo producto sea \(-24\):

\[-8+3=-5, \qquad (-8)(3)=-24.\]

Por tanto:

\[x^2-5x-24 = (x-8)(x+3).\]

Ejemplo 8.12

Factoriza:

\[m^2+24-10m.\]

Ver solución

Primero ordenamos el trinomio según las potencias descendentes de \(m\):

\[m^2-10m+24.\]

Buscamos dos números cuya suma sea \(-10\) y cuyo producto sea \(24\):

\[-6+(-4)=-10, \qquad (-6)(-4)=24.\]

Por tanto:

\[m^2-10m+24 = (m-6)(m-4).\]

8.5 Trinomio de la forma \(ax^2+bx+c\)#

Teorema Descomposición del término central

Para factorizar un trinomio de la forma

\[ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0,\]

se buscan dos números \(p\) y \(q\) que satisfagan:

\[p+q=b \qquad\text{y}\qquad pq=ac.\]

Después se sustituye el término central \(bx\) por \(px+qx\) y se factoriza por agrupación:

\[ax^2+bx+c = ax^2+px+qx+c.\]

Este procedimiento produce una factorización con coeficientes enteros cuando existen valores enteros adecuados para \(p\) y \(q\).

Ejemplo 8.13

Factoriza:

\[2x^2+3x+1.\]

Ver solución

Calculamos el producto \(ac\):

\[ac=(2)(1)=2.\]

Buscamos dos números cuya suma sea \(3\) y cuyo producto sea \(2\):

\[2+1=3, \qquad (2)(1)=2.\]

Descomponemos el término central y agrupamos:

\[\begin{aligned} 2x^2+3x+1 &=2x^2+2x+x+1\\ &=2x(x+1)+(x+1)\\ &=(x+1)(2x+1). \end{aligned}\]

Ejemplo 8.14

Factoriza:

\[6x^2-11x-35.\]

Ver solución

Calculamos:

\[ac=(6)(-35)=-210.\]

Buscamos dos números cuya suma sea \(-11\) y cuyo producto sea \(-210\):

\[-21+10=-11, \qquad (-21)(10)=-210.\]

Descomponemos el término central:

\[\begin{aligned} 6x^2-11x-35 &=6x^2-21x+10x-35\\ &=3x(2x-7)+5(2x-7)\\ &=(2x-7)(3x+5). \end{aligned}\]

Nota

No todos los trinomios pueden factorizarse como producto de binomios con coeficientes enteros. Si no existen enteros \(p\) y \(q\) que satisfagan las condiciones requeridas, pueden necesitarse otros métodos, como completar el cuadrado o utilizar la fórmula general.

8.6 Suma y diferencia de cubos#

Teorema Suma y diferencia de cubos

La suma de dos cubos se factoriza mediante:

\[a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2).\]

La diferencia de dos cubos se factoriza mediante:

\[a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2).\]

El signo del primer binomio coincide con el de la expresión original. En el trinomio, el término central lleva el signo contrario y el último término siempre es positivo.

Ejemplo 8.15

Factoriza:

\[a^3+8.\]

Ver solución

Expresamos \(8\) como un cubo:

\[8=2^3.\]

Aplicamos la fórmula de suma de cubos:

\[\begin{aligned} a^3+8 &=a^3+2^3\\ &=(a+2)(a^2-2a+4). \end{aligned}\]

Ejemplo 8.16

Factoriza:

\[m^6-27.\]

Ver solución

Escribimos ambos términos como cubos:

\[m^6=(m^2)^3, \qquad 27=3^3.\]

Aplicamos la fórmula de diferencia de cubos:

\[\begin{aligned} m^6-27 &=(m^2)^3-3^3\\ &=(m^2-3)(m^4+3m^2+9). \end{aligned}\]

8.7 Teoremas del residuo y del factor#

UNAM

Los teoremas del residuo y del factor permiten estudiar divisiones de polinomios sin realizar el algoritmo completo de la división.

Teorema Teorema del residuo

Si un polinomio \(f(x)\) se divide entre \(x-a\), el residuo de la división es:

\[f(a).\]

Teorema Teorema del factor

El binomio \(x-a\) es factor de un polinomio \(f(x)\) si y solo si:

\[f(a)=0.\]

Ejemplo 8.17

UNAM

Determina si \(x+1\) es factor del polinomio:

\[f(x)=x^3+3x^2+3x+1.\]

Ver solución

Escribimos el posible factor como:

\[x+1=x-(-1).\]

Por el teorema del factor, evaluamos el polinomio en \(x=-1\):

\[\begin{aligned} f(-1) &=(-1)^3+3(-1)^2+3(-1)+1\\ &=-1+3-3+1\\ &=0. \end{aligned}\]

Como \(f(-1)=0\), el binomio \(x+1\) sí es factor de \(f(x)\).

Ejemplo 8.18

UNAM

Encuentra el residuo de dividir:

\[f(x)=x^4+3x^2+5x-2\]

entre \(x+1\).

Ver solución

Como

\[x+1=x-(-1),\]

evaluamos el polinomio en \(x=-1\):

\[\begin{aligned} f(-1) &=(-1)^4+3(-1)^2+5(-1)-2\\ &=1+3-5-2\\ &=-3. \end{aligned}\]

El residuo de la división es \(-3\).

8.8 Estrategia general de factorización#

Para factorizar un polinomio, puede seguirse este orden:

Ordena los términos según las potencias descendentes de la variable principal.
Extrae el máximo factor común, si existe.
Cuenta el número de términos:
- con dos términos, verifica si existe una diferencia de cuadrados o una suma o diferencia de cubos;
- con tres términos, verifica si es un trinomio cuadrado perfecto o un trinomio de segundo grado;
- con cuatro o más términos, intenta agrupar.
Revisa si alguno de los factores obtenidos puede factorizarse nuevamente.
Comprueba el resultado multiplicando los factores.

Advertencia

Una factorización no está completa si alguno de los factores todavía puede descomponerse en factores más sencillos dentro del conjunto numérico con el que se está trabajando.

8.9 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 8.1

Factoriza completamente:

\[5x^3-15x^2+10x.\]

Ver solución

Factor común: \(5x\). \[5x^3 - 15x^2 + 10x = 5x(x^2 - 3x + 2).\] Además, \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\). Entonces: \[5x(x - 1)(x - 2).\]

Ejercicio 8.2

Factoriza completamente:

\[3a^2b+6ab^2-9ab.\]

Ver solución

Factor común: \(3ab\). \[3a^2 b + 6ab^2 - 9ab = 3ab(a + 2b - 3).\]

Ejercicio 8.3

Factoriza por agrupación:

\[2x^2+2xy+3x+3y.\]

Ver solución

Agrupamos: \[2x^2 + 2xy + 3x + 3y = 2x(x + y) + 3(x + y) = (x + y)(2x + 3).\]

Ejercicio 8.4

Factoriza:

\[9x^2-16.\]

Ver solución

Diferencia de cuadrados: \[9x^2 - 16 = (3x + 4)(3x - 4).\]

Ejercicio 8.5

Factoriza:

\[25a^2-49b^2.\]

Ver solución

\[25a^2 - 49b^2 = (5a + 7b)(5a - 7b).\]

Ejercicio 8.6

Factoriza:

\[x^2+10x+25.\]

Ver solución

Raíces: \(x\) y \(5\), doble producto \(10x\): \[x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2.\]

Ejercicio 8.7

Factoriza:

\[4m^2-12mn+9n^2.\]

Ver solución

Raíces: \(2m\) y \(3n\), doble producto \(12mn\): \[4m^2 - 12mn + 9n^2 = (2m - 3n)^2.\]

Ejercicio 8.8

Factoriza:

\[x^2+8x+15.\]

Ver solución

Dos números que sumen 8 y multipliquen 15: \(5\) y \(3\). \[x^2 + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3).\]

Ejercicio 8.9

Factoriza:

\[x^2-3x-40.\]

Ver solución

Dos números que sumen \(-3\) y multipliquen \(-40\): \(-8\) y \(5\). \[x^2 - 3x - 40 = (x - 8)(x + 5).\]

Ejercicio 8.10

Factoriza:

\[3x^2+7x+2.\]

Ver solución

\[3x^2 + 7x + 2 = \frac{9x^2 + 7(3x) + 6}{3} = \frac{(3x + 6)(3x + 1)}{3} = (x + 2)(3x + 1).\]

Ejercicio 8.11

Factoriza:

\[2x^2-5x-12.\]

Ver solución

\[2x^2 - 5x - 12 = \frac{4x^2 - 5(2x) - 24}{2} = \frac{(2x - 8)(2x + 3)}{2} = (x - 4)(2x + 3).\]

Ejercicio 8.12

Factoriza:

\[a^3-27.\]

Ver solución

Diferencia de cubos: \[a^3 - 27 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9).\]

Ejercicio 8.13

Factoriza:

\[8x^3+125.\]

Ver solución

Suma de cubos (\(2x\) y \(5\)): \[8x^3 + 125 = (2x + 5)(4x^2 - 10x + 25).\]

Ejercicio 8.14

UNAM

Determina si \(x-2\) es factor de:

\[f(x)=x^3-3x^2+4.\]

Ver solución

Evaluamos \(f(2) = 8 - 12 + 4 = 0\). Como \(f(2) = 0\), \(x - 2\) sí es factor.

Ejercicio 8.15

UNAM

Encuentra el residuo de dividir:

\[f(x)=2x^3+x^2-5x+3\]

entre \(x-1\).

Ver solución

Evaluamos en \(x = 1\): \[f(1) = 2 + 1 - 5 + 3 = 1.\] El residuo es \(1\).