Capítulo 9

Fracciones algebraicas

UNAMIPNCENEVAL

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Para simplificarla y realizar operaciones con ella es necesario dominar la factorización y reconocer los valores que anulan sus denominadores. En este capítulo aprenderás a simplificar fracciones algebraicas, sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas, así como a trabajar con fracciones complejas.

9.1 Concepto y dominio#

Definición

Una fracción algebraica es una expresión de la forma

\[\frac{P(x)}{Q(x)},\]

donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son polinomios y

\[Q(x)\neq 0.\]

La expresión está definida únicamente para los valores de \(x\) que no anulan el denominador.

Definición

El dominio de una fracción algebraica es el conjunto de valores para los cuales la expresión está definida.

Para determinarlo, se resuelve la condición:

\[Q(x)\neq 0.\]

Ejemplo 9.1

Determina los valores para los que está definida la expresión:

\[\frac{x+1}{x^2-9}.\]

Ver solución

El denominador debe ser distinto de cero:

\[x^2-9\neq 0.\]

Factorizamos:

\[(x+3)(x-3)\neq 0.\]

Por tanto:

\[x\neq -3 \qquad\text{y}\qquad x\neq 3.\]

La fracción está definida para todos los números reales, excepto \(-3\) y \(3\).

9.2 Simplificación#

Teorema Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica:

se factorizan completamente el numerador y el denominador;
se identifican los factores comunes;
se cancelan los factores comunes distintos de cero;
se conservan las restricciones del denominador original.

En general:

\[\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \qquad B\neq 0, \qquad C\neq 0.\]

Advertencia

Al simplificar una fracción algebraica, los valores excluidos por el denominador original deben conservarse, aunque el factor que los produce desaparezca después de la cancelación.

Por ejemplo:

\[\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+3)} = \frac{x+1}{x+3},\]

pero la expresión original requiere:

\[x\neq 2 \qquad\text{y}\qquad x\neq -3.\]

La expresión simplificada es equivalente a la original únicamente en el dominio de esta última.

Ejemplo 9.2

Simplifica:

\[\frac{3x^4y^3}{6x^2y}.\]

Ver solución

La expresión original requiere:

\[x\neq 0 \qquad\text{y}\qquad y\neq 0.\]

Simplificamos el coeficiente y aplicamos las leyes de los exponentes:

\[\begin{aligned} \frac{3x^4y^3}{6x^2y} &= \frac{3}{6} x^{4-2} y^{3-1}\\ &= \frac{1}{2}x^2y^2. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\frac{3x^4y^3}{6x^2y} = \frac{x^2y^2}{2}, \qquad x\neq 0, \qquad y\neq 0.\]

Ejemplo 9.3

Simplifica:

\[\frac{x^2-9}{x^2+8x+15}.\]

Ver solución

Factorizamos el numerador y el denominador:

\[\begin{aligned} x^2-9 &=(x+3)(x-3),\\ x^2+8x+15 &=(x+5)(x+3). \end{aligned}\]

El denominador original se anula cuando:

\[x=-5 \qquad\text{o}\qquad x=-3.\]

Por tanto, estos valores deben excluirse. Simplificamos el factor común \(x+3\):

\[\begin{aligned} \frac{x^2-9}{x^2+8x+15} &= \frac{(x+3)(x-3)} {(x+5)(x+3)}\\ &= \frac{x-3}{x+5}. \end{aligned}\]

La expresión simplificada es:

\[\frac{x-3}{x+5}, \qquad x\neq -5, \qquad x\neq -3.\]

Advertencia

Solo pueden cancelarse factores, no términos que forman parte de una suma o una diferencia.

Por ejemplo, en la expresión

\[\frac{x+3}{x+5}\]

no pueden cancelarse las \(x\), porque \(x+3\) y \(x+5\) son sumas, no productos.

En cambio, sí puede simplificarse:

\[\frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5}, \qquad x\neq 0.\]

9.3 Suma y resta#

Teorema Fracciones con el mismo denominador

Si dos fracciones algebraicas tienen el mismo denominador, se suman o restan sus numeradores y se conserva el denominador:

\[\begin{aligned} \frac{A}{C}+\frac{B}{C} &=\frac{A+B}{C},\\ \frac{A}{C}-\frac{B}{C} &=\frac{A-B}{C}, \end{aligned}\]

donde \(C\neq 0\).

Teorema Fracciones con denominadores distintos

Si las fracciones tienen denominadores distintos, deben escribirse con un denominador común.

En general:

\[\begin{aligned} \frac{A}{B}+\frac{C}{D} &=\frac{AD+BC}{BD},\\ \frac{A}{B}-\frac{C}{D} &=\frac{AD-BC}{BD}, \end{aligned}\]

donde \(B\neq 0\) y \(D\neq 0\).

Cuando los denominadores son polinomios, conviene factorizarlos y utilizar su mínimo común denominador.

Ejemplo 9.4

Realiza la operación:

\[\frac{2}{a}+\frac{1}{b}.\]

Ver solución

Las restricciones son:

\[a\neq 0 \qquad\text{y}\qquad b\neq 0.\]

El denominador común es \(ab\):

\[\begin{aligned} \frac{2}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{2b}{ab} + \frac{a}{ab}\\ &= \frac{2b+a}{ab}. \end{aligned}\]

Ejemplo 9.5

Realiza la operación:

\[\frac{1}{x^2} + \frac{2x}{3x^3} - \frac{3}{2x^2}.\]

Ver solución

La expresión está definida para:

\[x\neq 0.\]

Primero simplificamos la segunda fracción:

\[\frac{2x}{3x^3} = \frac{2}{3x^2}.\]

Ahora todas las fracciones tienen denominadores que son múltiplos de \(x^2\). El mínimo común denominador es \(6x^2\):

\[\begin{aligned} \frac{1}{x^2} + \frac{2}{3x^2} - \frac{3}{2x^2} &= \frac{6}{6x^2} + \frac{4}{6x^2} - \frac{9}{6x^2}\\ &= \frac{6+4-9}{6x^2}\\ &= \frac{1}{6x^2}. \end{aligned}\]

Ejemplo 9.6

Realiza la operación:

\[\frac{x+1}{x-2} - \frac{x+5}{x+3}.\]

Ver solución

Las restricciones son:

\[x\neq 2 \qquad\text{y}\qquad x\neq -3.\]

El denominador común es \((x-2)(x+3)\):

\[\begin{aligned} \frac{x+1}{x-2} - \frac{x+5}{x+3} &= \frac{(x+1)(x+3)-(x+5)(x-2)} {(x-2)(x+3)}. \end{aligned}\]

Desarrollamos el numerador:

\[\begin{aligned} (x+1)(x+3) &=x^2+4x+3,\\ (x+5)(x-2) &=x^2+3x-10. \end{aligned}\]

Sustituimos y simplificamos:

\[\begin{aligned} \frac{x^2+4x+3-(x^2+3x-10)} {(x-2)(x+3)} &= \frac{x^2+4x+3-x^2-3x+10} {(x-2)(x+3)}\\ &= \frac{x+13}{(x-2)(x+3)}. \end{aligned}\]

9.4 Multiplicación#

Teorema Multiplicación de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

\[\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D} = \frac{AC}{BD},\]

donde \(B\neq 0\) y \(D\neq 0\).

Antes de efectuar las multiplicaciones, conviene factorizar todos los polinomios y simplificar los factores comunes.

Ejemplo 9.7

Multiplica:

\[\frac{3x^2y^3}{4x^4y^2} \cdot \frac{8x}{y^2}.\]

Ver solución

La expresión original requiere:

\[x\neq 0 \qquad\text{y}\qquad y\neq 0.\]

Multiplicamos y simplificamos:

\[\begin{aligned} \frac{3x^2y^3}{4x^4y^2} \cdot \frac{8x}{y^2} &= \frac{24x^3y^3}{4x^4y^4}\\ &= 6x^{3-4}y^{3-4}\\ &= 6x^{-1}y^{-1}\\ &= \frac{6}{xy}. \end{aligned}\]

Ejemplo 9.8

Multiplica:

\[\frac{x^2-2x-3}{x^2+3x+2} \cdot \frac{x^2-1}{x^2-4x+3}.\]

Ver solución

Factorizamos todos los polinomios:

\[\begin{aligned} x^2-2x-3 &=(x-3)(x+1),\\ x^2+3x+2 &=(x+1)(x+2),\\ x^2-1 &=(x-1)(x+1),\\ x^2-4x+3 &=(x-1)(x-3). \end{aligned}\]

Los denominadores originales establecen las restricciones:

\[x\neq -1, \qquad x\neq -2, \qquad x\neq 1, \qquad x\neq 3.\]

Sustituimos las factorizaciones:

\[\begin{aligned} &\frac{(x-3)(x+1)} {(x+1)(x+2)} \cdot \frac{(x-1)(x+1)} {(x-1)(x-3)} \\[0.4em] &\qquad = \frac{x+1}{x+2}. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\frac{x^2-2x-3}{x^2+3x+2} \cdot \frac{x^2-1}{x^2-4x+3} = \frac{x+1}{x+2},\]

con las restricciones:

\[x\neq -2,-1,1,3.\]

9.5 División#

Teorema División de fracciones algebraicas

Para dividir entre una fracción algebraica, se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda:

\[\frac{A}{B}\div\frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}.\]

Además de exigir que los denominadores originales sean distintos de cero, la fracción divisora debe ser distinta de cero. Por tanto:

\[B\neq 0, \qquad C\neq 0, \qquad D\neq 0.\]

Ejemplo 9.9

Divide:

\[\frac{6a^4b^3}{a^2} \div \frac{12ab^5}{b}.\]

Ver solución

La expresión original requiere:

\[a\neq 0 \qquad\text{y}\qquad b\neq 0.\]

Multiplicamos por el recíproco de la segunda fracción:

\[\begin{aligned} \frac{6a^4b^3}{a^2} \div \frac{12ab^5}{b} &= \frac{6a^4b^3}{a^2} \cdot \frac{b}{12ab^5}\\ &= \frac{6a^4b^4}{12a^3b^5}\\ &= \frac{a}{2b}. \end{aligned}\]

Ejemplo 9.10

Divide:

\[\frac{x-2}{x^2-4} \div \frac{x+1}{x^2-2x-3}.\]

Ver solución

Factorizamos los denominadores:

\[\begin{aligned} x^2-4 &=(x-2)(x+2),\\ x^2-2x-3 &=(x-3)(x+1). \end{aligned}\]

Los denominadores originales exigen:

\[x\neq -2, \qquad x\neq 2, \qquad x\neq -1, \qquad x\neq 3.\]

Además, la fracción divisora debe ser distinta de cero. Su numerador es \(x+1\), pero \(x=-1\) ya está excluido porque también anula su denominador.

Multiplicamos por el recíproco:

\[\begin{aligned} \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-3)(x+1)}{x+1} &= \frac{x-3}{x+2}. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\frac{x-2}{x^2-4} \div \frac{x+1}{x^2-2x-3} = \frac{x-3}{x+2},\]

con las restricciones:

\[x\neq -2,-1,2,3.\]

9.6 Fracciones complejas#

Definición

Una fracción compleja es una fracción cuyo numerador, denominador o ambos contienen a su vez una o más fracciones.

Por ejemplo:

\[\frac{ \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2} }{ \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4} }.\]

Puede simplificarse mediante alguno de los siguientes procedimientos:

simplificar por separado el numerador y el denominador, y después dividir ambos resultados;
multiplicar el numerador y el denominador de la fracción compleja por el mínimo común denominador de todas las fracciones interiores.

Ejemplo 9.11

Simplifica:

\[\frac{ 2+\dfrac{1}{3} }{ 2-\dfrac{1}{3} }.\]

Ver solución

Simplificamos por separado el numerador y el denominador:

\[\begin{aligned} 2+\frac{1}{3} &=\frac{7}{3},\\ 2-\frac{1}{3} &=\frac{5}{3}. \end{aligned}\]

Después dividimos:

\[\begin{aligned} \frac{\dfrac{7}{3}}{\dfrac{5}{3}} &= \frac{7}{3}\div\frac{5}{3}\\ &= \frac{7}{3}\cdot\frac{3}{5}\\ &= \frac{7}{5}. \end{aligned}\]

Ejemplo 9.12

Simplifica:

\[\left( 1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}} \right) \left( 1-\frac{1}{1+\frac{1}{2}} \right).\]

Ver solución

Simplificamos el primer factor:

\[\begin{aligned} 1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}} &= 1+\frac{1}{\frac{1}{2}}\\ &=1+2\\ &=3. \end{aligned}\]

Simplificamos el segundo factor:

\[\begin{aligned} 1-\frac{1}{1+\frac{1}{2}} &= 1-\frac{1}{\frac{3}{2}}\\ &=1-\frac{2}{3}\\ &=\frac{1}{3}. \end{aligned}\]

Finalmente:

\[(3)\left(\frac{1}{3}\right) = 1.\]

9.7 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 9.1

Simplifica e indica las restricciones:

\[\frac{12x^3y^2}{8x^2y^4}.\]

Ver solución

\[\frac{12x^3 y^2}{8x^2 y^4} = \frac{3x}{2y^2}.\]

Ejercicio 9.2

Simplifica e indica las restricciones:

\[\frac{x^2-4}{x^2+5x+6}.\]

Ver solución

Factorizamos: \[x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2), \qquad x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).\] \[\frac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{x - 2}{x + 3}.\]

Ejercicio 9.3

Simplifica e indica las restricciones:

\[\frac{x^2+7x+10}{x^2-25}.\]

Ver solución

\[\frac{(x + 5)(x + 2)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x + 2}{x - 5}.\]

Ejercicio 9.4

Realiza la operación e indica las restricciones:

\[\frac{3}{x}+\frac{2}{y}.\]

Ver solución

\[\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{3y + 2x}{xy}.\]

Ejercicio 9.5

Realiza la operación e indica las restricciones:

\[\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-1}.\]

Ver solución

\[\frac{2(x - 1) - 3(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{2x - 2 - 3x - 3}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{-x - 5}{(x + 1)(x - 1)}.\]

Ejercicio 9.6

Multiplica, simplifica e indica las restricciones:

\[\frac{2x+4}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{x+5}.\]

Ver solución

Factorizamos: \[2x + 4 = 2(x + 2), \qquad x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).\] \[\frac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 5} = \frac{2}{x + 5}.\]

Ejercicio 9.7

Divide, simplifica e indica las restricciones:

\[\frac{x^2-9}{x+2} \div \frac{x+3}{x^2-4}.\]

Ver solución

Factorizamos: \[x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), \qquad x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).\] \[\frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 2} \cdot \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 3} = (x - 3)(x - 2).\]

Ejercicio 9.8

Simplifica e indica las restricciones:

\[\frac{ 1+\dfrac{1}{x} }{ 1-\dfrac{1}{x} }.\]

Ver solución

Numerador: \(1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}\). Denominador: \(1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}\). \[\frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 1}.\]

Ejercicio 9.9

Simplifica e indica las restricciones:

\[\frac{ \dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x+1} }{ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1} }.\]

Ver solución

Numerador: \[\frac{3}{x} - \frac{2}{x + 1} = \frac{3(x + 1) - 2x}{x(x + 1)} = \frac{3x + 3 - 2x}{x(x + 1)} = \frac{x + 3}{x(x + 1)}.\] Denominador: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) + x}{x(x + 1)} = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}.\] \[\frac{\frac{x + 3}{x(x + 1)}}{\frac{2x + 1}{x(x + 1)}} = \frac{x + 3}{2x + 1}.\]