Capítulo 10
Ecuaciones de primer grado
UNAMIPNCENEVAL
Una ecuación expresa una igualdad entre dos expresiones algebraicas y contiene una o más cantidades desconocidas. Resolverla consiste en determinar los valores que hacen verdadera la igualdad. En este capítulo estudiarás las propiedades que permiten transformar una ecuación, realizar despejes, resolver ecuaciones de primer grado y plantear modelos algebraicos para problemas contextualizados.
10.1 Conceptos básicos#
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contiene al menos una incógnita. Por ejemplo:
Cada expresión situada a un lado del signo de igualdad se denomina miembro de la ecuación. El valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad se llama solución de la ecuación.
Verifica si \(x=3\) es solución de la ecuación
Ver solución
Sustituimos \(x=3\) en el primer miembro:
Como ambos miembros tienen el mismo valor, \(x=3\) es solución de la ecuación.
Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de la variable para los cuales las expresiones están definidas. Por ejemplo:
En cambio, una ecuación condicional solo se cumple para determinados valores de la variable. Por ejemplo:
únicamente se cumple cuando \(x=3\).
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto de soluciones.
Por ejemplo:
y
son equivalentes, pues ambas tienen como única solución \(x=3\).
Sean \(a,b,c\in\R\).
- Propiedad reflexiva \[a=a.\]
Propiedad simétrica
Si \(a=b\), entonces: \[b=a.\]
Propiedad transitiva
Si \(a=b\) y \(b=c\), entonces: \[a=c.\]
Propiedad aditiva
Si \(a=b\), entonces: \[a+c=b+c.\]
Propiedad multiplicativa
Si \(a=b\), entonces: \[ac=bc.\]
Propiedad de la división
Si \(a=b\) y \(c\neq 0\), entonces: \[\frac{a}{c} = \frac{b}{c}.\]
La expresión informal “pasar un término al otro miembro cambiando su signo” resume la aplicación de la misma operación en ambos miembros.
Por ejemplo, en:
se resta \(5\) en ambos miembros:
Del mismo modo, “pasar un factor dividiendo” significa dividir ambos miembros entre el mismo número distinto de cero.
10.2 Despejes#
Despejar una variable consiste en aislarla en uno de los miembros de una fórmula o ecuación y expresarla en términos de las demás cantidades.
Para conservar la igualdad, toda operación aplicada en un miembro debe aplicarse también en el otro.
Despeja \(h\) de la fórmula:
Ver solución
Multiplicamos ambos miembros por \(3\):
Después dividimos entre \(\pi r^2\). Esta operación requiere \(r\neq 0\):
Despeja \(a\) de la fórmula:
Ver solución
Restamos \(V_0^2\) en ambos miembros:
Dividimos entre \(2d\), suponiendo que \(d\neq 0\):
Despeja \(r\) de la fórmula del área de un círculo:
Ver solución
Dividimos entre \(\pi\):
Al resolver algebraicamente la ecuación, se obtiene:
Sin embargo, como \(r\) representa una longitud, debe cumplirse \(r\geq 0\). Por tanto:
La operación inversa debe aplicarse con atención a sus condiciones. Por ejemplo, de una igualdad de la forma
se obtiene:
si \(a\geq 0\). El signo depende del significado de la variable y del dominio del problema. Si la variable representa una longitud, puede ser necesario conservar únicamente la solución no negativa.
10.3 Ecuaciones de primer grado#
Una ecuación de primer grado con una incógnita puede reducirse a la forma:
Su única solución es:
Para resolver una ecuación de primer grado puede seguirse este procedimiento:
- eliminar los signos de agrupación mediante las propiedades distributivas correspondientes;
- eliminar los denominadores, si los hay, multiplicando todos los términos por un denominador común;
- reducir los términos semejantes en cada miembro;
- reunir los términos que contienen la incógnita en un miembro y los términos constantes en el otro;
- despejar la incógnita;
- comprobar la solución en la ecuación original.
Resuelve:
Ver solución
Restamos \(3x\) en ambos miembros y sumamos \(7\):
Comprobamos el resultado:
Por tanto, la solución es:
Resuelve:
Ver solución
Reducimos los términos semejantes en cada miembro:
Reunimos los términos con \(x\) en el primer miembro y los términos constantes en el segundo:
Resuelve:
Ver solución
Eliminamos los signos de agrupación:
Reducimos los términos semejantes:
Reunimos los términos con \(x\) y las constantes:
10.4 Clasificación según el número de soluciones#
Al simplificar una ecuación aparentemente lineal, la variable puede eliminarse. En ese caso, es necesario interpretar la igualdad que queda.
Una ecuación de primer grado puede presentar alguno de los siguientes casos:
- Si se obtiene una igualdad verdadera, como \[0=0,\] la ecuación es una identidad y tiene infinitas soluciones dentro de su dominio.
- Si se obtiene una igualdad falsa, como \[0=5,\] la ecuación no tiene solución.
- Si se obtiene una igualdad de la forma \[ax=b, \qquad a\neq 0,\] la ecuación tiene una única solución.
Resuelve:
Ver solución
Aplicamos la propiedad distributiva:
Al restar \(3x+6\) en ambos miembros, obtenemos:
La igualdad es verdadera para todo número real. Por tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones:
Resuelve:
Ver solución
Aplicamos la propiedad distributiva:
Restamos \(2x\) en ambos miembros:
Como esta igualdad es falsa, la ecuación no tiene solución.
10.5 Ecuaciones con denominadores#
Para resolver una ecuación que contiene fracciones:
- se identifican los valores que anulan los denominadores y se excluyen del dominio;
- se determina un denominador común;
- se multiplica cada término de la ecuación por ese denominador;
- se resuelve la ecuación resultante;
- se comprueba que las soluciones pertenezcan al dominio de la ecuación original.
Resuelve:
Ver solución
El mínimo común múltiplo de \(4\), \(3\) y \(6\) es \(12\). Multiplicamos cada término por \(12\):
Reunimos los términos:
Resuelve:
Ver solución
Los denominadores contienen la variable, por lo que primero establecemos la restricción:
Multiplicamos cada término por \(2x\):
Reunimos los términos semejantes:
Como \(\frac{7}{10}\neq 0\), la solución pertenece al dominio de la ecuación original.
Multiplicar una ecuación por una expresión que contiene la variable puede introducir valores que no pertenecen al dominio original. Por esta razón, las restricciones deben establecerse antes de eliminar los denominadores.
Todo valor que anule un denominador original debe descartarse. Este tipo de valor se denomina solución extraña o solución no válida de la ecuación original.
10.6 Problemas de aplicación#
Para resolver un problema mediante una ecuación:
- identifica los datos conocidos y la cantidad que se busca;
- asigna una variable a la incógnita y define claramente qué representa;
- expresa las demás cantidades en términos de esa variable;
- traduce las relaciones del problema a una ecuación;
- resuelve la ecuación;
- comprueba el resultado y verifica que sea razonable dentro del contexto;
- expresa la respuesta con sus unidades correspondientes.
La suma de dos números es \(47\) y el mayor excede al menor en \(7\). ¿Cuáles son los números?
Ver solución
Sea \(x\) el número mayor. Entonces, el número menor es:
Como la suma de ambos es \(47\):
Resolvemos:
El número mayor es \(27\) y el menor es:
Comprobamos:
Tres números enteros consecutivos suman \(78\). ¿Cuál es el mayor?
Ver solución
Sea \(x\) el número mayor. Los otros dos números son:
Planteamos la ecuación:
Resolvemos:
El mayor de los tres números es \(27\). Los otros números son \(26\) y \(25\), y se verifica que:
Actualmente, una persona tiene \(36\) años y otra tiene \(13\) años. ¿Dentro de cuántos años la edad de la primera será el doble de la edad de la segunda?
Ver solución
Sea \(x\) el número de años que deben transcurrir. Dentro de \(x\) años, las edades serán:
Planteamos la ecuación:
Resolvemos:
Dentro de \(10\) años, las edades serán \(46\) y \(23\) años. Como:
la respuesta es correcta.
10.7 Ejercicios propuestos#
Resuelve y comprueba:
Ver solución
Resuelve:
Ver solución
Reducimos: \[12 + x = 17 + 10x \Longrightarrow x - 10x = 17 - 12 \Longrightarrow -9x = 5 \Longrightarrow x = -\frac{5}{9}.\]
Resuelve:
Ver solución
Eliminamos signos de agrupación: \[3x - 12 - 6x + 12 = 2x - 7x + 1.\] Reducimos: \[-3x = -5x + 1 \Longrightarrow -3x + 5x = 1 \Longrightarrow 2x = 1 \Longrightarrow x = \frac{1}{2}.\]
Resuelve:
Ver solución
mcm\((3, 4) = 12\). Multiplicamos: \[4x - 3(x - 5) = 24 \Longrightarrow 4x - 3x + 15 = 24 \Longrightarrow x = 9.\]
Resuelve e indica las restricciones:
Ver solución
Multiplicamos por \(3x\) (\(x \neq 0\)): \[6 + x = 15 \Longrightarrow x = 9.\]
Despeja \(t\) de la fórmula:
suponiendo que \(a=0\) y \(v\neq 0\).
Ver solución
Si \(a = 0\), la fórmula queda \(d = vt\). Despejamos \(t\): \[t = \frac{d}{v}.\]
La suma de dos números es \(8\) y el mayor es el triple del menor. ¿Cuál es el número mayor?
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Sea \(x\) el menor. El mayor es \(3x\). \[x + 3x = 8 \Longrightarrow 4x = 8 \Longrightarrow x = 2.\] El mayor es \(3(2) = 6\).
Actualmente, Manuel tiene el doble de la edad de Fabián. Dentro de \(12\) años, Fabián tendrá \(9\) años menos que Manuel. ¿Qué edad tiene Manuel actualmente?
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Sea \(x\) la edad de Fabián. Manuel tiene \(2x\). Dentro de 12 años: \[2x + 12 = (x + 12) + 9 \Longrightarrow 2x + 12 = x + 21 \Longrightarrow x = 9.\] Fabián tiene 9 años y Manuel tiene 18.
Un rectángulo tiene un perímetro de \(40\ \text{cm}\) y su largo mide el triple de su ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?
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Sea \(a\) el ancho. El largo es \(3a\). \[2(3a) + 2a = 40 \Longrightarrow 8a = 40 \Longrightarrow a = 5.\] Ancho: 5 cm. Largo: 15 cm.