Capítulo 11

Ecuaciones de segundo grado

UNAMIPNCENEVAL

Una ecuación de segundo grado, también llamada ecuación cuadrática, puede reducirse a una expresión polinómica cuyo mayor exponente es \(2\). Estas ecuaciones se utilizan para resolver problemas de geometría, movimiento y optimización, además de permitir el estudio de las raíces de un polinomio cuadrático. En este capítulo aprenderás a resolverlas mediante la fórmula general, la factorización y la completación del cuadrado.

11.1 Forma general y clasificación#

Definición

Una ecuación de segundo grado con una incógnita puede escribirse en la forma general:

\[ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0,\]

donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales.

En esta expresión:

\(ax^2\) es el término cuadrático;
\(bx\) es el término lineal;
\(c\) es el término constante;
\(a\), \(b\) y \(c\) son los coeficientes de la ecuación.

Definición

Según los términos que aparecen, las ecuaciones cuadráticas pueden clasificarse de la siguiente manera:

Ecuación completa

Tiene la forma: \[ax^2+bx+c=0,\] con \[a\neq 0, \qquad b\neq 0, \qquad c\neq 0.\]

Por ejemplo: \[2x^2-3x+1=0.\]
Ecuación incompleta mixta

No tiene término constante: \[ax^2+bx=0, \qquad a\neq 0, \qquad b\neq 0.\]

Por ejemplo: \[3x^2-6x=0.\]
Ecuación incompleta pura

No tiene término lineal: \[ax^2+c=0, \qquad a\neq 0, \qquad c\neq 0.\]

Por ejemplo: \[4x^2-9=0.\]
Ecuación monomial

Solo contiene el término cuadrático: \[ax^2=0, \qquad a\neq 0.\]

Su única solución es: \[x=0.\]

11.2 Fórmula general#

La fórmula general proporciona un procedimiento directo para resolver cualquier ecuación cuadrática, incluso cuando su factorización no es evidente. Para aplicarla correctamente, primero se escribe la ecuación en la forma \(ax^2+bx+c=0\) y se identifican con cuidado los valores de \(a\), \(b\) y \(c\), incluidos sus signos.

Teorema Fórmula general

Las soluciones de la ecuación

\[ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0,\]

están dadas por:

\[x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\]

Esta fórmula permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, siempre que se trabaje en un conjunto numérico que contenga las raíces obtenidas.

Definición

La expresión

\[\Delta=b^2-4ac\]

se denomina discriminante de la ecuación cuadrática. Su signo permite determinar la naturaleza de las soluciones antes de calcularlas.

Teorema Interpretación del discriminante

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales:

Si \[\Delta>0,\] la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
Si \[\Delta=0,\] la ecuación tiene una solución real doble.
Si \[\Delta<0,\] la ecuación no tiene soluciones reales. En el conjunto de los números complejos tiene dos soluciones conjugadas.

Ejemplo 11.1

Resuelve mediante la fórmula general:

\[6x^2+11x-10=0.\]

Ver solución

Identificamos los coeficientes:

\[a=6, \qquad b=11, \qquad c=-10.\]

Calculamos el discriminante:

\[\begin{aligned} \Delta &=b^2-4ac\\ &=11^2-4(6)(-10)\\ &=121+240\\ &=361. \end{aligned}\]

Como \(\Delta>0\), la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Aplicamos la fórmula general:

\[\begin{aligned} x &= \frac{-11\pm\sqrt{361}}{2(6)}\\ &= \frac{-11\pm 19}{12}. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} x_1 &=\frac{-11+19}{12} =\frac{8}{12} =\frac{2}{3},\\ x_2 &=\frac{-11-19}{12} =\frac{-30}{12} =-\frac{5}{2}. \end{aligned}\]

Ejemplo 11.2

Resuelve:

\[3x^2-9x=0.\]

Ver solución

Los coeficientes son:

\[a=3, \qquad b=-9, \qquad c=0.\]

Aplicamos la fórmula general:

\[\begin{aligned} x &= \frac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4(3)(0)}}{2(3)}\\ &= \frac{9\pm\sqrt{81}}{6}\\ &= \frac{9\pm 9}{6}. \end{aligned}\]

Las soluciones son:

\[\begin{aligned} x_1 &=\frac{9+9}{6} =3,\\ x_2 &=\frac{9-9}{6} =0. \end{aligned}\]

Ejemplo 11.3

Analiza y resuelve en los números reales:

\[x^2+x+1=0.\]

Ver solución

Identificamos:

\[a=1, \qquad b=1, \qquad c=1.\]

Calculamos el discriminante:

\[\begin{aligned} \Delta &=1^2-4(1)(1)\\ &=1-4\\ &=-3. \end{aligned}\]

Como \(\Delta<0\), la ecuación no tiene soluciones reales.

Si se trabaja en el conjunto de los números complejos, las soluciones son:

\[x = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.\]

11.3 Solución por factorización#

Teorema Propiedad del producto cero

Si el producto de dos números o expresiones algebraicas es cero, entonces al menos uno de los factores es cero:

\[AB=0 \quad\Longrightarrow\quad A=0 \quad\text{o}\quad B=0.\]

Esta propiedad permite resolver una ecuación cuadrática después de escribirla como un producto igualado a cero.

Ejemplo 11.4

Resuelve por factorización:

\[x^2-9x+20=0.\]

Ver solución

Buscamos dos números cuya suma sea \(-9\) y cuyo producto sea \(20\):

\[-5+(-4)=-9, \qquad (-5)(-4)=20.\]

Factorizamos:

\[x^2-9x+20 = (x-5)(x-4).\]

La ecuación queda:

\[(x-5)(x-4)=0.\]

Aplicamos la propiedad del producto cero:

\[x-5=0 \qquad\text{o}\qquad x-4=0.\]

Por tanto:

\[x_1=5, \qquad x_2=4.\]

Ejemplo 11.5

Resuelve por factorización:

\[3x^2-4x=0.\]

Ver solución

Extraemos el factor común \(x\):

\[x(3x-4)=0.\]

Aplicamos la propiedad del producto cero:

\[x=0 \qquad\text{o}\qquad 3x-4=0.\]

De la segunda ecuación:

\[3x=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{4}{3}.\]

Por tanto:

\[x_1=0, \qquad x_2=\frac{4}{3}.\]

Ejemplo 11.6

Resuelve por factorización:

\[4x^2-9=0.\]

Ver solución

El primer miembro es una diferencia de cuadrados:

\[4x^2-9 = (2x)^2-3^2.\]

Factorizamos:

\[(2x-3)(2x+3)=0.\]

Aplicamos la propiedad del producto cero:

\[2x-3=0 \qquad\text{o}\qquad 2x+3=0.\]

Por tanto:

\[x_1=\frac{3}{2}, \qquad x_2=-\frac{3}{2}.\]

Nota

La factorización suele ser el método más breve cuando el trinomio puede descomponerse fácilmente en factores. Si la factorización no es evidente, puede utilizarse la fórmula general, que funciona para toda ecuación cuadrática.

11.4 Completar el cuadrado#

Teorema Procedimiento para completar el cuadrado

Para resolver

\[ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0,\]

mediante completación del cuadrado:

se divide toda la ecuación entre \(a\);
se traslada el término constante al segundo miembro;
se suma en ambos miembros: \[\left(\frac{b}{2a}\right)^2;\]
se factoriza el primer miembro como un binomio al cuadrado;
se extrae la raíz cuadrada considerando ambos signos;
se despeja la variable.

Nota

Después de dividir entre \(a\), el coeficiente del término lineal es \(\frac{b}{a}\). La cantidad que debe añadirse en ambos miembros es la mitad de ese coeficiente elevada al cuadrado:

\[\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2.\]

Ejemplo 11.7

Resuelve completando el cuadrado:

\[x^2+6x+5=0.\]

Ver solución

Trasladamos el término constante:

\[x^2+6x=-5.\]

La mitad del coeficiente de \(x\) es \(3\). Sumamos \(3^2=9\) en ambos miembros:

\[\begin{aligned} x^2+6x+9 &=-5+9,\\ (x+3)^2 &=4. \end{aligned}\]

Extraemos la raíz cuadrada:

\[x+3=\pm 2.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} x_1 &=-3+2 =-1,\\ x_2 &=-3-2 =-5. \end{aligned}\]

Ejemplo 11.8

Resuelve completando el cuadrado:

\[x^2-8x-20=0.\]

Ver solución

Trasladamos el término constante:

\[x^2-8x=20.\]

La mitad del coeficiente de \(x\) es \(-4\). Sumamos \((-4)^2=16\) en ambos miembros:

\[\begin{aligned} x^2-8x+16 &=20+16,\\ (x-4)^2 &=36. \end{aligned}\]

Extraemos la raíz cuadrada:

\[x-4=\pm 6.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} x_1 &=4+6 =10,\\ x_2 &=4-6 =-2. \end{aligned}\]

Ejemplo 11.9

Resuelve completando el cuadrado:

\[x^2+3x-10=0.\]

Ver solución

Trasladamos el término constante:

\[x^2+3x=10.\]

La mitad del coeficiente de \(x\) es \(\frac{3}{2}\). Sumamos \(\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\) en ambos miembros:

\[\begin{aligned} x^2+3x+\frac{9}{4} &=10+\frac{9}{4},\\ \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 &=\frac{49}{4}. \end{aligned}\]

Extraemos la raíz cuadrada:

\[x+\frac{3}{2} = \pm\frac{7}{2}.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} x_1 &=-\frac{3}{2}+\frac{7}{2} =2,\\ x_2 &=-\frac{3}{2}-\frac{7}{2} =-5. \end{aligned}\]

11.5 Elección del método de solución#

Los tres métodos estudiados producen las mismas soluciones cuando se aplican correctamente. La elección depende de la forma de la ecuación.

Utiliza la factorización cuando el polinomio pueda descomponerse fácilmente en factores.
Utiliza la fórmula general cuando la factorización no sea evidente o cuando necesites analizar previamente el discriminante.
Utiliza la completación del cuadrado cuando el problema solicite ese procedimiento o cuando sea útil transformar la expresión en la forma de un binomio al cuadrado.

Advertencia

Antes de aplicar cualquier método, la ecuación debe escribirse en la forma:

\[ax^2+bx+c=0.\]

Si todos los términos tienen un factor común distinto de \(1\), conviene extraerlo o dividir la ecuación entre él antes de continuar.

11.6 Relaciones entre las raíces y los coeficientes#

Teorema Fórmulas de Viète

Si \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces de la ecuación:

\[ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0,\]

entonces:

\[x_1+x_2 = -\frac{b}{a}\]

\[x_1x_2 = \frac{c}{a}.\]

Teorema Ecuación a partir de sus raíces

Si \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces de una ecuación cuadrática, puede construirse una ecuación mediante:

\[a(x-x_1)(x-x_2)=0, \qquad a\neq 0.\]

Si se elige \(a=1\), se obtiene la ecuación mónica:

\[(x-x_1)(x-x_2)=0.\]

Al desarrollar:

\[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.\]

Nota

Un mismo par de raíces determina infinitas ecuaciones equivalentes, pues la ecuación puede multiplicarse por cualquier constante distinta de cero.

Por ejemplo:

\[x^2-5x+6=0\]

\[2x^2-10x+12=0\]

tienen las mismas raíces.

Ejemplo 11.10

Encuentra una ecuación cuadrática mónica cuyas raíces sean:

\[x_1=2 \qquad\text{y}\qquad x_2=5.\]

Ver solución

Construimos los factores:

\[(x-2)(x-5)=0.\]

Desarrollamos:

\[\begin{aligned} (x-2)(x-5) &=x^2-7x+10. \end{aligned}\]

Por tanto, una ecuación con esas raíces es:

\[x^2-7x+10=0.\]

Ejemplo 11.11

Encuentra una ecuación cuadrática mónica cuyas raíces sean:

\[x_1=3 \qquad\text{y}\qquad x_2=-7.\]

Ver solución

Construimos los factores:

\[(x-3)(x+7)=0.\]

Desarrollamos:

\[\begin{aligned} (x-3)(x+7) &=x^2+4x-21. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[x^2+4x-21=0.\]

Ejemplo 11.12

Encuentra una ecuación con coeficientes enteros cuyas raíces sean:

\[x_1=-\frac{1}{2} \qquad\text{y}\qquad x_2=\frac{1}{3}.\]

Ver solución

Construimos la ecuación mónica:

\[\left(x+\frac{1}{2}\right) \left(x-\frac{1}{3}\right) =0.\]

Desarrollamos:

\[\begin{aligned} x^2 +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)x -\frac{1}{6} &=0,\\ x^2+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6} &=0. \end{aligned}\]

Multiplicamos toda la ecuación por \(6\) para obtener coeficientes enteros:

\[6x^2+x-1=0.\]

11.7 Problemas de aplicación#

Teorema Estrategia de resolución

Para resolver un problema mediante una ecuación cuadrática:

identifica la incógnita y define la variable;
expresa las demás cantidades en términos de esa variable;
traduce las condiciones del problema a una ecuación;
escribe la ecuación en la forma general;
resuelve mediante el método más conveniente;
analiza las soluciones y descarta las que no tengan sentido en el contexto;
comprueba el resultado y expresa la respuesta con sus unidades.

Ejemplo 11.13

Un rectángulo tiene un área de \(60\ \text{cm}^2\) y su largo mide \(7\ \text{cm}\) más que su ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Ver solución

Sea \(x\) el ancho del rectángulo. Entonces, su largo es:

\[x+7.\]

Utilizamos la fórmula del área:

\[x(x+7)=60.\]

Escribimos la ecuación en forma general:

\[x^2+7x-60=0.\]

Factorizamos:

\[(x+12)(x-5)=0.\]

Por tanto:

\[x=-12 \qquad\text{o}\qquad x=5.\]

Como una longitud no puede ser negativa, descartamos \(x=-12\). El ancho mide:

\[5\ \text{cm}.\]

El largo mide:

\[5+7=12\ \text{cm}.\]

Comprobamos:

\[(5)(12)=60.\]

Las dimensiones son \(5\ \text{cm}\) por \(12\ \text{cm}\).

Ejemplo 11.14

La edad de una persona es \(3\) años mayor que la edad de otra. La suma de los cuadrados de sus edades es \(65\). ¿Cuál es la edad de la persona mayor?

Ver solución

Sea \(x\) la edad de la persona mayor. Entonces, la edad de la persona menor es:

\[x-3.\]

Planteamos la ecuación:

\[x^2+(x-3)^2=65.\]

Desarrollamos y simplificamos:

\[\begin{aligned} x^2+x^2-6x+9 &=65,\\ 2x^2-6x-56 &=0. \end{aligned}\]

Dividimos entre \(2\):

\[x^2-3x-28=0.\]

Factorizamos:

\[(x-7)(x+4)=0.\]

Por tanto:

\[x=7 \qquad\text{o}\qquad x=-4.\]

Como una edad no puede ser negativa, descartamos \(x=-4\). La persona mayor tiene \(7\) años y la menor tiene:

\[7-3=4\]

años.

Comprobamos:

\[7^2+4^2 = 49+16 = 65.\]

11.8 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 11.1

Resuelve mediante la fórmula general:

\[x^2-7x+10=0.\]

Ver solución

\(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 10\). \[x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}.\] \(x_1 = 5\), \(x_2 = 2\).

Ejercicio 11.2

Resuelve por factorización:

\[x^2-16=0.\]

Ver solución

\((x - 4)(x + 4) = 0\). \(x_1 = 4\), \(x_2 = -4\).

Ejercicio 11.3

Resuelve por factorización:

\[5x^2-10x=0.\]

Ver solución

\(5x(x - 2) = 0\). \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\).

Ejercicio 11.4

Resuelve completando el cuadrado:

\[x^2-5x+6=0.\]

Ver solución

\(x^2 - 5x = -6\). Sumamos \(\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\): \[\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \Longrightarrow x - \frac{5}{2} = \pm \frac{1}{2}.\] \(x_1 = 3\), \(x_2 = 2\).

Ejercicio 11.5

Resuelve completando el cuadrado:

\[x^2+4x-12=0.\]

Ver solución

\(x^2 + 4x = 12\). Sumamos 4: \[(x + 2)^2 = 16 \Longrightarrow x + 2 = \pm 4.\] \(x_1 = 2\), \(x_2 = -6\).

Ejercicio 11.6

Determina el discriminante y el número de soluciones reales de:

\[3x^2-2x+5=0.\]

Ver solución

\(\Delta = (-2)^2 - 4(3)(5) = 4 - 60 = -56 < 0\). No hay soluciones reales.

Ejercicio 11.7

Determina el discriminante y el número de soluciones reales de:

\[x^2-6x+9=0.\]

Ver solución

\(\Delta = 36 - 36 = 0\). Una solución real doble (\(x = 3\)).

Ejercicio 11.8

Encuentra una ecuación cuadrática mónica cuyas raíces sean:

\[x_1=4 \qquad\text{y}\qquad x_2=-2.\]

Ver solución

Suma: \(4 + (-2) = 2\). Producto: \((4)(-2) = -8\). \[x^2 - 2x - 8 = 0.\]

Ejercicio 11.9

Encuentra una ecuación cuadrática con coeficientes enteros cuyas raíces sean:

\[x_1=\frac{3}{2} \qquad\text{y}\qquad x_2=-\frac{1}{4}.\]

Ver solución

Suma: \(\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\). Producto: \(\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{3}{8}\). \[x^2 - \frac{5}{4}x - \frac{3}{8} = 0.\] Multiplicando por 8: \[8x^2 - 10x - 3 = 0.\]

Ejercicio 11.10

El largo de un rectángulo mide el doble de su ancho. Si el ancho y el largo aumentan \(2\ \text{m}\) cada uno, el área aumenta \(34\ \text{m}^2\). ¿Cuánto mide el largo original?

Ver solución

Sea \(a\) el ancho original. Largo: \(2a\). \[(a + 2)(2a + 2) = 2a^2 + 34.\] \[2a^2 + 6a + 4 = 2a^2 + 34 \Longrightarrow 6a = 30 \Longrightarrow a = 5.\] Ancho original: 5 m. Largo original: 10 m.

Ejercicio 11.11

La suma de dos números es \(7\) y la suma de sus cuadrados es \(29\). ¿Cuál es el número mayor?

Ver solución

Sean \(x\) y \(7 - x\) los números. \[x^2 + (7 - x)^2 = 29 \Longrightarrow x^2 + 49 - 14x + x^2 = 29.\] \[2x^2 - 14x + 20 = 0 \Longrightarrow x^2 - 7x + 10 = 0.\] Factorizamos: \((x - 5)(x - 2) = 0\). Los números son 5 y 2. El mayor es 5.