Capítulo 13

Sistemas de ecuaciones

UNAMIPNCENEVAL

Un sistema de ecuaciones está formado por dos o más ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Resolverlo consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. En este capítulo estudiarás diferentes métodos para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas y una introducción a los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

13.1 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas#

Definición

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede escribirse en la forma:

\[\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}\]

donde $a_1$, $b_1$, $a_2$ y $b_2$ son los coeficientes de las incógnitas, mientras que $c_1$ y $c_2$ son los términos independientes.

Una solución del sistema es un par ordenado $(x,y)$ que satisface simultáneamente ambas ecuaciones.

Ejemplo 13.1

Verifica si el par ordenado $(2,1)$ es solución del sistema:

\[\begin{cases} x+2y=4,\\ 5x-y=9. \end{cases}\]

Ver solución

Sustituimos $x=2$ y $y=1$ en la primera ecuación:

\[2+2(1)=4.\]

La igualdad es verdadera. Ahora sustituimos en la segunda:

\[5(2)-1=10-1=9.\]

Como el par $(2,1)$ satisface las dos ecuaciones, sí es solución del sistema.

13.2 Interpretación geométrica#

Cada ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano cartesiano. Por tanto, resolver un sistema equivale a encontrar los puntos que pertenecen simultáneamente a ambas rectas.

Teorema Tipos de solución

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede tener:

Una solución única

Las rectas se intersecan en un solo punto. El sistema se denomina compatible determinado.
Infinitas soluciones

Las dos ecuaciones representan la misma recta. El sistema se denomina compatible indeterminado.
Ninguna solución

Las rectas son paralelas y distintas. El sistema se denomina incompatible.

Nota

Si las ecuaciones se escriben en la forma:

\[y=m_1x+b_1 \qquad\text{y}\qquad y=m_2x+b_2,\]

pueden presentarse los siguientes casos:

si $m_1\neq m_2$, las rectas se intersecan y existe una solución única;
si $m_1=m_2$ y $b_1=b_2$, las rectas coinciden y existen infinitas soluciones;
si $m_1=m_2$ y $b_1\neq b_2$, las rectas son paralelas y no existe solución.

13.3 Método de eliminación#

Teorema Método de eliminación

El método de eliminación, también llamado método de suma y resta, consiste en combinar las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas.

El procedimiento general es:

ordenar ambas ecuaciones de manera semejante;
multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes adecuadas para obtener coeficientes opuestos en una incógnita;
sumar las ecuaciones resultantes;
resolver la ecuación con una incógnita;
sustituir el valor obtenido en alguna de las ecuaciones originales;
comprobar el par ordenado en ambas ecuaciones.

Ejemplo 13.2

Resuelve el sistema:

\[\begin{cases} 3x-2y=-8,\\ x+y=-1. \end{cases}\]

Ver solución

Multiplicamos la segunda ecuación por $2$ para obtener coeficientes opuestos de $y$:

\[\begin{cases} 3x-2y=-8,\\ 2x+2y=-2. \end{cases}\]

Sumamos ambas ecuaciones:

\[\begin{aligned} (3x-2y)+(2x+2y) &=-8+(-2),\\ 5x &=-10,\\ x &=-2. \end{aligned}\]

Sustituimos $x=-2$ en la ecuación $x+y=-1$:

\[\begin{aligned} -2+y &=-1,\\ y &=1. \end{aligned}\]

Por tanto, la solución es:

\[(x,y)=(-2,1).\]

Comprobamos en la primera ecuación:

\[3(-2)-2(1) = -6-2 = -8.\]

Ejemplo 13.3

Resuelve el sistema:

\[\begin{cases} 5x+2y=23,\\ 3x+4y=25. \end{cases}\]

Ver solución

Multiplicamos la primera ecuación por $2$:

\[\begin{cases} 10x+4y=46,\\ 3x+4y=25. \end{cases}\]

Restamos la segunda ecuación de la primera:

\[\begin{aligned} (10x+4y)-(3x+4y) &=46-25,\\ 7x &=21,\\ x &=3. \end{aligned}\]

Sustituimos $x=3$ en la primera ecuación:

\[\begin{aligned} 5(3)+2y &=23,\\ 15+2y &=23,\\ 2y &=8,\\ y &=4. \end{aligned}\]

La solución es:

\[(x,y)=(3,4).\]

13.4 Método de sustitución#

Teorema Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en la otra.

El procedimiento es:

despejar una incógnita en una de las ecuaciones;
sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación;
resolver la ecuación resultante;
sustituir el valor encontrado en el despeje original;
comprobar el par ordenado.

Ejemplo 13.4

Resuelve el sistema:

\[\begin{cases} x+2y=4,\\ 5x-y=9. \end{cases}\]

Ver solución

Despejamos $x$ en la primera ecuación:

\[x=4-2y.\]

Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:

\[\begin{aligned} 5(4-2y)-y &=9,\\ 20-10y-y &=9,\\ -11y &=-11,\\ y &=1. \end{aligned}\]

Sustituimos $y=1$ en el despeje de $x$:

\[\begin{aligned} x &=4-2(1)\\ &=2. \end{aligned}\]

La solución es:

\[(x,y)=(2,1).\]

13.5 Método de igualación#

Teorema Método de igualación

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.

El procedimiento es:

despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones;
igualar las dos expresiones resultantes;
resolver la ecuación con una incógnita;
sustituir el valor obtenido en alguno de los despejes;
comprobar la solución.

Ejemplo 13.5

Resuelve el sistema:

\[\begin{cases} y=5x+3,\\ y=x+7. \end{cases}\]

Ver solución

Como ambas expresiones son iguales a $y$, las igualamos:

\[\begin{aligned} 5x+3 &=x+7,\\ 5x-x &=7-3,\\ 4x &=4,\\ x &=1. \end{aligned}\]

Sustituimos $x=1$ en $y=x+7$:

\[\begin{aligned} y &=1+7\\ &=8. \end{aligned}\]

La solución es:

\[(x,y)=(1,8).\]

13.6 Método de determinantes#

Definición

El determinante de una matriz de orden $2$ se calcula mediante:

\[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc.\]

Teorema Regla de Cramer para sistemas de orden dos

Considera el sistema:

\[\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2. \end{cases}\]

Definimos los determinantes:

\[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix},\]

\[\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}.\]

Si $\Delta\neq 0$, el sistema tiene una solución única dada por:

\[x=\frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}.\]

Si $\Delta=0$, la regla de Cramer no produce una solución única. El sistema puede tener infinitas soluciones o no tener solución.

Nota

Cuando $\Delta=0$, pueden analizarse también $\Delta_x$ y $\Delta_y$:

si \[\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0,\] el sistema puede tener infinitas soluciones;
si $\Delta=0$ y alguno de los otros determinantes es distinto de cero, el sistema no tiene solución.

Ejemplo 13.6

Resuelve mediante la regla de Cramer:

\[\begin{cases} 3x-2y=7,\\ 5x+y=3. \end{cases}\]

Ver solución

Calculamos el determinante principal:

\[\begin{aligned} \Delta &= \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 5 & 1 \end{vmatrix}\\ &=3(1)-(-2)(5)\\ &=3+10\\ &=13. \end{aligned}\]

Calculamos el determinante correspondiente a $x$:

\[\begin{aligned} \Delta_x &= \begin{vmatrix} 7 & -2\\ 3 & 1 \end{vmatrix}\\ &=7(1)-(-2)(3)\\ &=7+6\\ &=13. \end{aligned}\]

Calculamos el determinante correspondiente a $y$:

\[\begin{aligned} \Delta_y &= \begin{vmatrix} 3 & 7\\ 5 & 3 \end{vmatrix}\\ &=3(3)-7(5)\\ &=9-35\\ &=-26. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} x &=\frac{13}{13} =1,\\ y &=\frac{-26}{13} =-2. \end{aligned}\]

La solución es:

\[(x,y)=(1,-2).\]

13.7 Elección del método#

Todos los métodos estudiados deben producir la misma solución. La elección depende de la forma del sistema.

Utiliza eliminación cuando los coeficientes de una incógnita sean iguales, opuestos o fáciles de igualar.
Utiliza sustitución cuando una incógnita ya esté despejada o tenga coeficiente $1$ o $-1$.
Utiliza igualación cuando sea sencillo despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Utiliza la regla de Cramer cuando el determinante principal sea distinto de cero y los cálculos de los determinantes sean manejables.

Advertencia

Una operación realizada sobre una ecuación completa debe aplicarse a todos sus términos. Por ejemplo, al multiplicar:

\[2x+y=5\]

por $3$, se obtiene:

\[6x+3y=15,\]

no $6x+y=5$.

13.8 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas#

UNAM

Definición

Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas puede escribirse en la forma:

\[\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1,\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2,\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3. \end{cases}\]

Una solución es una terna ordenada $(x,y,z)$ que satisface simultáneamente las tres ecuaciones.

Teorema Regla de Cramer para sistemas de orden tres

Sea $\Delta$ el determinante de la matriz de coeficientes:

\[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.\]

Los determinantes $\Delta_x$, $\Delta_y$ y $\Delta_z$ se obtienen sustituyendo, respectivamente, la primera, segunda y tercera columna de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes.

Si $\Delta\neq 0$, el sistema tiene una solución única:

\[x=\frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}.\]

Nota

Los determinantes de orden $3$ pueden calcularse mediante la regla de Sarrus o mediante el desarrollo por cofactores. La regla de Sarrus solo se aplica a determinantes de orden $3$.

Ejemplo 13.7

Resuelve el sistema:

\[\begin{cases} 5x+2y-z=-7,\\ x-2y+2z=0,\\ 3y+z=17. \end{cases}\]

Ver solución

La matriz de coeficientes es:

\[\begin{pmatrix} 5 & 2 & -1\\ 1 & -2 & 2\\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}.\]

Calculamos los determinantes:

\[\Delta=-45, \qquad \Delta_x=90, \qquad \Delta_y=-180, \qquad \Delta_z=-225.\]

Como $\Delta\neq 0$, el sistema tiene una solución única:

\[\begin{aligned} x &=\frac{\Delta_x}{\Delta} =\frac{90}{-45} =-2,\\ y &=\frac{\Delta_y}{\Delta} =\frac{-180}{-45} =4,\\ z &=\frac{\Delta_z}{\Delta} =\frac{-225}{-45} =5. \end{aligned}\]

La solución es:

\[(x,y,z)=(-2,4,5).\]

Comprobamos en las tres ecuaciones:

\[\begin{aligned} 5(-2)+2(4)-5 &=-10+8-5 =-7,\\ -2-2(4)+2(5) &=-2-8+10 =0,\\ 3(4)+5 &=12+5 =17. \end{aligned}\]

13.9 Problemas de aplicación#

Teorema Estrategia de resolución

Para utilizar un sistema de ecuaciones en un problema:

identifica las cantidades desconocidas;
asigna una variable a cada cantidad;
traduce cada condición del problema a una ecuación;
forma el sistema;
elige un método de solución;
comprueba la solución en las ecuaciones originales;
interpreta el resultado en el contexto del problema.

Ejemplo 13.8

La suma de dos números es $55$ y la diferencia entre el mayor y el menor es $15$. ¿Cuáles son los números?

Ver solución

Sean $x$ el número mayor y $y$ el número menor. El sistema es:

\[\begin{cases} x+y=55,\\ x-y=15. \end{cases}\]

Sumamos ambas ecuaciones:

\[\begin{aligned} 2x &=70,\\ x &=35. \end{aligned}\]

Sustituimos en la primera ecuación:

\[\begin{aligned} 35+y &=55,\\ y &=20. \end{aligned}\]

Los números son $35$ y $20$.

Ejemplo 13.9

En una granja hay $44$ animales entre pollos y borregos. Si en total se cuentan $126$ patas, ¿cuántos pollos y cuántos borregos hay?

Ver solución

Sea $x$ el número de pollos y $y$ el número de borregos. Cada pollo tiene $2$ patas y cada borrego tiene $4$. El sistema es:

\[\begin{cases} x+y=44,\\ 2x+4y=126. \end{cases}\]

Multiplicamos la primera ecuación por $-2$:

\[\begin{cases} -2x-2y=-88,\\ 2x+4y=126. \end{cases}\]

Sumamos:

\[\begin{aligned} 2y &=38,\\ y &=19. \end{aligned}\]

Sustituimos en $x+y=44$:

\[\begin{aligned} x+19 &=44,\\ x &=25. \end{aligned}\]

Hay $25$ pollos y $19$ borregos.

Comprobamos el número de patas:

\[2(25)+4(19) = 50+76 = 126.\]

Ejemplo 13.10

En una tienda, $2$ kg de queso y $1$ kg de jamón cuestan $140. Por otra parte, $1$ kg de queso y $3$ kg de jamón cuestan $270. ¿Cuánto cuesta un kilogramo de jamón?

Ver solución

Sea $q$ el precio de un kilogramo de queso y $j$ el precio de un kilogramo de jamón. El sistema es:

\[\begin{cases} 2q+j=140,\\ q+3j=270. \end{cases}\]

Multiplicamos la primera ecuación por $-1$ y la segunda por $2$:

\[\begin{cases} -2q-j=-140,\\ 2q+6j=540. \end{cases}\]

Sumamos ambas ecuaciones:

\[\begin{aligned} 5j &=400,\\ j &=80. \end{aligned}\]

El precio de un kilogramo de jamón es $80.

Sustituyendo en la primera ecuación:

\[\begin{aligned} 2q+80 &=140,\\ 2q &=60,\\ q &=30. \end{aligned}\]

La comprobación es:

\[30+3(80) = 30+240 = 270.\]

13.10 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 13.1

Resuelve por eliminación:

\[\begin{cases} 5x-2y=-4,\\ 3x-y=-5. \end{cases}\]

Ver solución

Multiplicamos la segunda por $-2$: \[\begin{cases} 5x - 2y = -4, \\ -6x + 2y = 10. \end{cases}\] Sumando: $-x = 6$, entonces $x = -6$. Sustituyendo en la segunda original: $3(-6) - y = -5$, entonces $-18 - y = -5$, $y = -13$. Solución: $(-6, -13)$.

Ejercicio 13.2

Resuelve por sustitución:

\[\begin{cases} 2x+3y=-13,\\ 4x-5y=7. \end{cases}\]

Ver solución

De la primera: $2x = -13 - 3y$, $x = \frac{-13 - 3y}{2}$. Sustituyendo en la segunda: \[4 \cdot \frac{-13 - 3y}{2} - 5y = 7 \Longrightarrow -26 - 6y - 5y = 7 \Longrightarrow -11y = 33 \Longrightarrow y = -3.\] Entonces $x = \frac{-13 + 9}{2} = -2$. Solución: $(-2, -3)$.

Ejercicio 13.3

Resuelve por igualación:

\[\begin{cases} y=2x+3,\\ y=-x+9. \end{cases}\]

Ver solución

Igualamos: $2x + 3 = -x + 9$, $3x = 6$, $x = 2$. Entonces $y = 2(2) + 3 = 7$. Solución: $(2, 7)$.

Ejercicio 13.4

Resuelve mediante la regla de Cramer:

\[\begin{cases} 3x-4y=9,\\ x+y=-4. \end{cases}\]

Ver solución

\[\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 + 4 = 7,\] \[\Delta_x = \begin{vmatrix} 9 & -4 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 9 - 16 = -7,\] \[\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -12 - 9 = -21.\] $x = -1$, $y = -3$. Solución: $(-1, -3)$.

Ejercicio 13.5

Resuelve por el método que consideres más conveniente:

\[\begin{cases} 5x+2y=-7,\\ 3x-4y=-25. \end{cases}\]

Ver solución

Multiplicamos la primera por 2: \[\begin{cases} 10x + 4y = -14, \\ 3x - 4y = -25. \end{cases}\] Sumando: $13x = -39$, $x = -3$. Sustituyendo: $5(-3) + 2y = -7$, $2y = 8$, $y = 4$. Solución: $(-3, 4)$.

Ejercicio 13.6

UNAM

Resuelve el sistema:

\[\begin{cases} x+y-2z=-1,\\ 3x-y+4z=-1,\\ 2x-3y-z=-9. \end{cases}\]

Ver solución

Aplicando Cramer o eliminación, el resultado es $x = -1$, $y = 2$, $z = 1$. Solución: $(-1, 2, 1)$.

Ejercicio 13.7

Un granjero tiene $22$ animales entre cerdos y gallinas. Si el número total de patas es $64$, ¿cuántos cerdos tiene?

Ver solución

Sean $c$ cerdos (4 patas) y $g$ gallinas (2 patas). \[\begin{cases} c + g = 22, \\ 4c + 2g = 64. \end{cases}\] De la primera: $g = 22 - c$. Sustituyendo: $4c + 2(22 - c) = 64 \Longrightarrow 2c = 20 \Longrightarrow c = 10$. Hay 10 cerdos.

Ejercicio 13.8

En una feria, un grupo de $10$ personas paga $210 en total. Si el boleto de una persona adulta cuesta $30 y el boleto infantil cuesta $15, ¿cuántas personas adultas hay en el grupo?

Ver solución

Sean $a$ adultos y $n$ niños. \[\begin{cases} a + n = 10, \\ 30a + 15n = 210. \end{cases}\] De la primera: $n = 10 - a$. Sustituyendo: $30a + 15(10 - a) = 210 \Longrightarrow 15a = 60 \Longrightarrow a = 4$. Hay 4 adultos.

Ejercicio 13.9

Patricia compró $3$ blusas y $2$ pantalones por $1250. Norma compró $2$ blusas y $3$ pantalones por $1500. ¿Cuál es el precio de cada pantalón?

Ver solución

Sean $b$ el precio de la blusa y $p$ el del pantalón. \[\begin{cases} 3b + 2p = 1250, \\ 2b + 3p = 1500. \end{cases}\] Multiplicando la primera por 2 y la segunda por 3: \[\begin{cases} 6b + 4p = 2500, \\ 6b + 9p = 4500. \end{cases}\] Restando: $5p = 2000$, entonces $p = 400$. Cada pantalón cuesta $400.