Capítulo 14

Números complejos

UNAM

Algunas ecuaciones, como

\[x^2+1=0,\]

no tienen solución en el conjunto de los números reales. Para resolverlas se introduce la unidad imaginaria \(i\) y se amplía el sistema numérico al conjunto de los números complejos, denotado por \(\C\). En este capítulo estudiarás la forma algebraica de un número complejo, sus principales operaciones, su representación en el plano y el uso del conjugado para efectuar divisiones.

14.1 Unidad imaginaria#

Definición

La unidad imaginaria, denotada por \(i\), es el número que satisface:

\[i^2=-1.\]

De manera convencional, puede escribirse:

\[i=\sqrt{-1}.\]

Gracias a esta definición, si \(a\) es un número real no negativo, entonces:

\[\sqrt{-a} = i\sqrt{a}.\]

Nota

En los números reales no existe ningún número cuyo cuadrado sea \(-1\), pues el cuadrado de todo número real es mayor o igual que cero. La introducción de \(i\) permite resolver ecuaciones que no tienen soluciones reales.

Por ejemplo:

\[x^2+1=0\]

equivale a:

\[x^2=-1.\]

Por tanto, sus soluciones complejas son:

\[x=\pm i.\]

Advertencia

Las propiedades de los radicales utilizadas en los números reales no deben aplicarse sin cuidado a cantidades negativas.

Por ejemplo, el razonamiento:

\[\sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = i^2 = -1\]

es incorrecto, porque el lado izquierdo es:

\[\sqrt{1}=1.\]

La propiedad

\[\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\]

se aplica directamente en los números reales cuando los radicandos son no negativos.

Ejemplo 14.1

Expresa las siguientes raíces mediante la unidad imaginaria:

\[\sqrt{-81}, \qquad \sqrt{-4}, \qquad \sqrt{-27}, \qquad \sqrt{-\frac{64}{9}}.\]

Ver solución

Escribimos cada radicando negativo como el producto de \(-1\) por una cantidad positiva:

\[\begin{aligned} \sqrt{-81} &=i\sqrt{81} =9i,\\ \sqrt{-4} &=i\sqrt{4} =2i,\\ \sqrt{-27} &=i\sqrt{27} =i\sqrt{9\cdot 3} =3\sqrt{3}\,i,\\ \sqrt{-\frac{64}{9}} &=i\sqrt{\frac{64}{9}} =\frac{8}{3}i. \end{aligned}\]

14.2 Potencias de la unidad imaginaria#

Teorema Potencias de la unidad imaginaria

Las potencias de \(i\) siguen un ciclo de periodo \(4\):

\[\begin{aligned} i^0&=1,\\ i^1&=i,\\ i^2&=-1,\\ i^3&=-i,\\ i^4&=1. \end{aligned}\]

A partir de \(i^4\), los resultados se repiten:

\[i^{n+4}=i^n.\]

Para calcular \(i^n\), se divide el exponente entre \(4\) y se utiliza el residuo:

residuo \(0\): \[i^n=1;\]
residuo \(1\): \[i^n=i;\]
residuo \(2\): \[i^n=-1;\]
residuo \(3\): \[i^n=-i.\]

Ejemplo 14.2

Calcula:

\[i^{27}.\]

Ver solución

Dividimos \(27\) entre \(4\):

\[27=4(6)+3.\]

El residuo es \(3\). Por tanto:

\[i^{27} = i^3 = -i.\]

Ejemplo 14.3

Calcula:

\[i^{100}.\]

Ver solución

Como:

\[100=4(25),\]

el residuo de dividir \(100\) entre \(4\) es \(0\). Por tanto:

\[i^{100} = 1.\]

14.3 Números imaginarios puros#

Definición

Un número de la forma

\[bi, \qquad b\in\R,\]

se denomina número imaginario puro. Para operar con varios números imaginarios puros, sus coeficientes se combinan como términos semejantes.

Teorema Suma y resta de imaginarios puros

Si \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, entonces:

\[ai+bi-ci = (a+b-c)i.\]

Ejemplo 14.4

Simplifica:

\[4i-7i+6i.\]

Ver solución

Sumamos y restamos los coeficientes:

\[\begin{aligned} 4i-7i+6i &=(4-7+6)i\\ &=3i. \end{aligned}\]

Ejemplo 14.5

Simplifica:

\[5i+\frac{1}{2}i-i.\]

Ver solución

\[\begin{aligned} 5i+\frac{1}{2}i-i &= \left( 5+\frac{1}{2}-1 \right)i\\ &= \frac{9}{2}i. \end{aligned}\]

Ejemplo 14.6

Simplifica:

\[\sqrt{-20}-4\sqrt{5}\,i-\sqrt{-45}.\]

Ver solución

Expresamos las raíces negativas mediante \(i\):

\[\begin{aligned} \sqrt{-20} &=i\sqrt{20} =2\sqrt{5}\,i,\\ \sqrt{-45} &=i\sqrt{45} =3\sqrt{5}\,i. \end{aligned}\]

Sustituimos y reducimos los términos semejantes:

\[\begin{aligned} \sqrt{-20}-4\sqrt{5}\,i-\sqrt{-45} &= 2\sqrt{5}\,i -4\sqrt{5}\,i -3\sqrt{5}\,i\\ &= (2-4-3)\sqrt{5}\,i\\ &= -5\sqrt{5}\,i. \end{aligned}\]

14.4 Forma algebraica de un número complejo#

Definición

Un número complejo es una expresión de la forma:

\[z=a+bi,\]

donde \(a,b\in\R\) e \(i^2=-1\).

El número \(a\) se denomina parte real de \(z\) y el número \(b\) se denomina parte imaginaria de \(z\). Se escriben:

\[\operatorname{Re}(z)=a, \qquad \operatorname{Im}(z)=b.\]

La parte imaginaria es el coeficiente \(b\), no el término completo \(bi\).

Definición

Un número complejo puede escribirse mediante:

su forma algebraica: \[z=a+bi;\]
su representación como par ordenado: \[z=(a,b).\]

Ejemplo 14.7

Expresa los siguientes números complejos como pares ordenados:

\[6-8i, \qquad 4+5i, \qquad -3, \qquad 7i.\]

Ver solución

Para \(z=6-8i\): \[\operatorname{Re}(z)=6, \qquad \operatorname{Im}(z)=-8.\] Por tanto: \[z=(6,-8).\]
Para \(z=4+5i\): \[z=(4,5).\]
El número real \(-3\) puede escribirse como: \[-3=-3+0i.\] Por tanto: \[z=(-3,0).\]
El número imaginario puro \(7i\) puede escribirse como: \[7i=0+7i.\] Por tanto: \[z=(0,7).\]

Nota

Todo número real es también un número complejo cuya parte imaginaria es cero:

\[a=a+0i.\]

Por esta razón:

\[\R\subset\C.\]

Un número complejo es imaginario puro cuando su parte real es cero y su parte imaginaria es distinta de cero.

14.5 Representación en el plano complejo#

Un número complejo

\[z=a+bi\]

puede representarse mediante el punto \((a,b)\) en el plano complejo. El eje horizontal representa la parte real y el eje vertical representa la parte imaginaria.

Ejemplo 14.8

Representa el número complejo:

\[z=3+2i.\]

Ver solución

La parte real es \(3\) y la parte imaginaria es \(2\). Por tanto, el número corresponde al punto \((3,2)\).

Definición

El módulo de un número complejo

\[z=a+bi\]

es su distancia al origen en el plano complejo. Se define mediante:

\[|z| = \sqrt{a^2+b^2}.\]

Ejemplo 14.9

Calcula el módulo de:

\[z=5-12i.\]

Ver solución

La parte real es \(5\) y la parte imaginaria es \(-12\). Aplicamos la fórmula:

\[\begin{aligned} |z| &=\sqrt{5^2+(-12)^2}\\ &=\sqrt{25+144}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13. \end{aligned}\]

14.6 Igualdad de números complejos#

Teorema Igualdad de números complejos

Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.

Es decir:

\[a+bi=c+di\]

si y solo si:

\[a=c \qquad\text{y}\qquad b=d.\]

Ejemplo 14.10

Determina los valores de \(x\) y \(y\) si:

\[(2x-1)+(y+3)i = 5+7i.\]

Ver solución

Igualamos las partes reales:

\[\begin{aligned} 2x-1 &=5,\\ 2x &=6,\\ x &=3. \end{aligned}\]

Igualamos las partes imaginarias:

\[\begin{aligned} y+3 &=7,\\ y &=4. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[x=3, \qquad y=4.\]

14.7 Suma y resta de números complejos#

Teorema Suma y resta

Para sumar dos números complejos, se suman por separado sus partes reales y sus partes imaginarias:

\[(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i.\]

Para restarlos:

\[(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.\]

Ejemplo 14.11

Sean:

\[z=4+2i \qquad\text{y}\qquad w=-5+3i.\]

Calcula \(z+w\).

Ver solución

\[\begin{aligned} z+w &=(4+2i)+(-5+3i)\\ &=[4+(-5)]+(2+3)i\\ &=-1+5i. \end{aligned}\]

Ejemplo 14.12

Sean:

\[z=-1+4i \qquad\text{y}\qquad w=7-6i.\]

Calcula \(z-w\).

Ver solución

\[\begin{aligned} z-w &=(-1+4i)-(7-6i)\\ &=(-1-7)+[4-(-6)]i\\ &=-8+10i. \end{aligned}\]

14.8 Multiplicación de números complejos#

Teorema Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos, se aplica la propiedad distributiva y se utiliza la igualdad \(i^2=-1\):

\[\begin{aligned} (a+bi)(c+di) &=ac+adi+bci+bdi^2\\ &=(ac-bd)+(ad+bc)i. \end{aligned}\]

Ejemplo 14.13

Multiplica:

\[(2+3i)(-1+4i).\]

Ver solución

Aplicamos la propiedad distributiva:

\[\begin{aligned} (2+3i)(-1+4i) &=2(-1)+2(4i)+3i(-1)+3i(4i)\\ &=-2+8i-3i+12i^2. \end{aligned}\]

Como \(i^2=-1\):

\[\begin{aligned} -2+8i-3i+12i^2 &=-2+5i-12\\ &=-14+5i. \end{aligned}\]

Ejemplo 14.14

Multiplica:

\[(5-i)(4+2i).\]

Ver solución

\[\begin{aligned} (5-i)(4+2i) &=20+10i-4i-2i^2\\ &=20+6i+2\\ &=22+6i. \end{aligned}\]

14.9 Conjugado de un número complejo#

Definición

El conjugado del número complejo

\[z=a+bi\]

se denota por \(\overline{z}\) y se define como:

\[\overline{z} = a-bi.\]

El conjugado conserva la parte real y cambia el signo de la parte imaginaria.

Teorema Propiedades del conjugado

Si \(z=a+bi\), entonces:

\[\begin{aligned} z+\overline{z} &=2a,\\ z-\overline{z} &=2bi,\\ z\overline{z} &=a^2+b^2,\\ z\overline{z} &=|z|^2. \end{aligned}\]

Ejemplo 14.15

Escribe el conjugado de cada número complejo:

\[4-3i, \qquad -2+5i, \qquad 6, \qquad -7i.\]

Ver solución

\[\begin{aligned} \overline{4-3i} &=4+3i,\\ \overline{-2+5i} &=-2-5i,\\ \overline{6} &=6,\\ \overline{-7i} &=7i. \end{aligned}\]

14.10 División de números complejos#

Teorema División

Para dividir dos números complejos, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Si \(c+di\neq 0\), entonces:

\[\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)} {(c+di)(c-di)}.\]

Como:

\[(c+di)(c-di) = c^2+d^2,\]

se obtiene:

\[\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}.\]

Ejemplo 14.16

Calcula:

\[\frac{2-4i}{-4+3i}.\]

Ver solución

El conjugado del denominador es \(-4-3i\). Multiplicamos el numerador y el denominador por este número:

\[\frac{2-4i}{-4+3i} \cdot \frac{-4-3i}{-4-3i}.\]

Calculamos el numerador:

\[\begin{aligned} (2-4i)(-4-3i) &=-8-6i+16i+12i^2\\ &=-8+10i-12\\ &=-20+10i. \end{aligned}\]

Calculamos el denominador:

\[\begin{aligned} (-4+3i)(-4-3i) &=(-4)^2+3^2\\ &=16+9\\ &=25. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} \frac{2-4i}{-4+3i} &= \frac{-20+10i}{25}\\ &= -\frac{4}{5} +\frac{2}{5}i. \end{aligned}\]

Advertencia

La división entre números complejos solo está definida cuando el denominador es distinto de cero.

Si:

\[c+di\neq 0,\]

entonces:

\[c^2+d^2>0.\]

Por ello, el producto del denominador por su conjugado es un número real positivo y permite eliminar la unidad imaginaria del denominador.

14.11 Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas#

Ejemplo 14.17

Resuelve en \(\C\):

\[x^2+4x+13=0.\]

Ver solución

Identificamos:

\[a=1, \qquad b=4, \qquad c=13.\]

Calculamos el discriminante:

\[\begin{aligned} \Delta &=b^2-4ac\\ &=4^2-4(1)(13)\\ &=16-52\\ &=-36. \end{aligned}\]

Aplicamos la fórmula general:

\[\begin{aligned} x &= \frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}\\ &= \frac{-4\pm 6i}{2}\\ &= -2\pm 3i. \end{aligned}\]

Las soluciones son:

\[x_1=-2+3i, \qquad x_2=-2-3i.\]

Nota

Cuando una ecuación cuadrática tiene coeficientes reales y discriminante negativo, sus soluciones complejas aparecen en pares conjugados:

\[a+bi \qquad\text{y}\qquad a-bi.\]

14.12 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 14.1

Simplifica:

\[\sqrt{-49}.\]

Ver solución

\[\sqrt{-49} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{-1} = 7i.\]

Ejercicio 14.2

Calcula:

\[i^{35}.\]

Ver solución

\(35 = 4(8) + 3\), entonces \(i^{35} = i^3 = -i\).

Ejercicio 14.3

Simplifica:

\[3i-8i+5i.\]

Ver solución

\[(3 - 8 + 5)i = 0.\]

Ejercicio 14.4

\[z=6+3i \qquad\text{y}\qquad w=-3-7i,\]

calcula \(z+w\).

Ver solución

\[(6 - 3) + (3 - 7)i = 3 - 4i.\]

Ejercicio 14.5

\[z=-1-2i \qquad\text{y}\qquad w=8-i,\]

calcula \(z+w\).

Ver solución

\[(-1 + 8) + (-2 - 1)i = 7 - 3i.\]

Ejercicio 14.6

Multiplica:

\[(5-2i)(2+i).\]

Ver solución

\[\begin{aligned} (5 - 2i)(2 + i) &= 10 + 5i - 4i - 2i^2 \\ &= 10 + i + 2 = 12 + i. \end{aligned}\]

Ejercicio 14.7

Calcula el módulo de:

\[z=6+8i.\]

Ver solución

\[|6 + 8i| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.\]

Ejercicio 14.8

\[z=6-i \qquad\text{y}\qquad w=2-i,\]

calcula:

\[\frac{z}{w}.\]

Ver solución

Multiplicamos por el conjugado del denominador, \(2 + i\): \[\frac{(6 - i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)}.\] Numerador: \(12 + 6i - 2i - i^2 = 12 + 4i + 1 = 13 + 4i\). Denominador: \(4 + 1 = 5\). \[\frac{13 + 4i}{5} = \frac{13}{5} + \frac{4}{5} i.\]

Ejercicio 14.9

Simplifica:

\[(-6+i)+(i^2-2i).\]

Ver solución

Recordamos \(i^2 = -1\): \[(-6 + i) + (-1 - 2i) = -7 - i.\]

Ejercicio 14.10

Simplifica el cociente:

\[\frac{1-i}{1+i}.\]

Ver solución

Multiplicamos por el conjugado del denominador, \(1 - i\): \[\frac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{(1 - i)^2}{1^2 + 1^2}.\] Numerador: \(1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i\). Denominador: \(2\). \[\frac{-2i}{2} = -i.\]