Guía de Matemáticas Parte V: Trigonometría

Capítulo 27

Círculo trigonométrico

UNAMIPNCENEVAL

El círculo trigonométrico permite extender las razones trigonométricas a ángulos de cualquier medida, no solamente a los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Mediante las coordenadas de un punto sobre el círculo unitario pueden determinarse el seno, el coseno, la tangente y las demás funciones trigonométricas.

En este capítulo estudiarás la posición estándar de un ángulo, los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante, los ángulos de referencia, los ángulos negativos y las principales fórmulas de reducción.

27.1 Definición del círculo trigonométrico#

Definición

El círculo trigonométrico, también llamado círculo unitario, es la circunferencia de radio \(1\) con centro en el origen del plano cartesiano.

Su ecuación es:

\[x^2+y^2=1.\]
Definición

Un ángulo \(\theta\) se encuentra en posición estándar cuando:

  • su vértice está en el origen;
  • su lado inicial coincide con el eje positivo \(x\);
  • su lado final se obtiene mediante un giro de medida \(\theta\).
Nota

Los ángulos positivos se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj. Los ángulos negativos se miden en el sentido de las manecillas del reloj.

Teorema Coordenadas y razones trigonométricas

Sea \(\theta\) un ángulo en posición estándar. Si su lado final interseca el círculo unitario en el punto:

\[P(x,y),\]

entonces:

\[x=\cos\theta \qquad\text{y}\qquad y=\sen\theta.\]

Por tanto:

\[P(x,y) = P(\cos\theta,\sen\theta).\]

Además, cuando \(x\neq0\):

\[\tan\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}.\]

La relación entre las coordenadas del punto y las razones trigonométricas puede observarse en la siguiente figura:

Figura 27.1
Teorema Identidad pitagórica

Como todo punto del círculo unitario satisface:

\[x^2+y^2=1,\]

y además:

\[x=\cos\theta, \qquad y=\sen\theta,\]

se obtiene la identidad fundamental:

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.\]

27.2 Las seis funciones en el círculo trigonométrico#

Teorema Funciones mediante coordenadas

Si:

\[P(x,y) = P(\cos\theta,\sen\theta)\]

es el punto determinado por el lado final de \(\theta\), entonces:

\[\begin{aligned} \sen\theta &=y,\\ \cos\theta &=x,\\ \tan\theta &=\frac{y}{x}, \qquad x\neq0,\\ \csc\theta &=\frac{1}{y}, \qquad y\neq0,\\ \sec\theta &=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0,\\ \cot\theta &=\frac{x}{y}, \qquad y\neq0. \end{aligned}\]
Advertencia

No todas las funciones trigonométricas están definidas para todos los ángulos.

  • La tangente y la secante no están definidas cuando: \[\cos\theta=0.\]
  • La cotangente y la cosecante no están definidas cuando: \[\sen\theta=0.\]

Esto ocurre porque la división entre cero no está definida.

Ejemplo 27.1

El lado final de un ángulo \(\theta\) interseca el círculo unitario en:

\[P\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).\]

Encuentra las seis funciones trigonométricas.

Ver solución

A partir de las coordenadas:

\[x=-\frac{3}{5}, \qquad y=\frac{4}{5},\]

obtenemos:

\[\begin{aligned} \sen\theta &=\frac{4}{5},& \cos\theta &=-\frac{3}{5},& \tan\theta &=-\frac{4}{3},\\[0.6em] \csc\theta &=\frac{5}{4},& \sec\theta &=-\frac{5}{3},& \cot\theta &=-\frac{3}{4}. \end{aligned}\]

27.3 Signos por cuadrante#

Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.

  • El cuadrante I contiene los ángulos entre: \[0^\circ \quad\text{y}\quad 90^\circ.\]
  • El cuadrante II contiene los ángulos entre: \[90^\circ \quad\text{y}\quad 180^\circ.\]
  • El cuadrante III contiene los ángulos entre: \[180^\circ \quad\text{y}\quad 270^\circ.\]
  • El cuadrante IV contiene los ángulos entre: \[270^\circ \quad\text{y}\quad 360^\circ.\]
Nota

Los ángulos cuyos lados finales se encuentran sobre un eje coordenado no pertenecen a ningún cuadrante.

Por ejemplo:

\[0^\circ, \qquad 90^\circ, \qquad 180^\circ, \qquad 270^\circ\]

son ángulos cuadrantales.

Teorema Signos de las funciones trigonométricas

Los signos de las funciones principales son:

  • Cuadrante I

    \[\sen\theta>0, \qquad \cos\theta>0, \qquad \tan\theta>0.\]

  • Cuadrante II

    \[\sen\theta>0, \qquad \cos\theta<0, \qquad \tan\theta<0.\]

  • Cuadrante III

    \[\sen\theta<0, \qquad \cos\theta<0, \qquad \tan\theta>0.\]

  • Cuadrante IV

    \[\sen\theta<0, \qquad \cos\theta>0, \qquad \tan\theta<0.\]
Nota

Las funciones recíprocas tienen el mismo signo que las funciones de las que provienen:

\[\csc\theta\]

tiene el mismo signo que \(\sen\theta\);

\[\sec\theta\]

tiene el mismo signo que \(\cos\theta\);

\[\cot\theta\]

tiene el mismo signo que \(\tan\theta\).

Una forma de recordar los signos es recorrer los cuadrantes en el orden:

\[\text{todas}, \qquad \text{seno}, \qquad \text{tangente}, \qquad \text{coseno}.\]

Esto indica qué funciones principales son positivas en los cuadrantes I, II, III y IV.

Figura 27.2

La figura indica las funciones trigonométricas positivas en cada cuadrante:

  • En el cuadrante I, todas las funciones trigonométricas son positivas.
  • En el cuadrante II, el seno y la cosecante son positivos.
  • En el cuadrante III, la tangente y la cotangente son positivas.
  • En el cuadrante IV, el coseno y la secante son positivos.

Las demás funciones son negativas en cada cuadrante.

Ejemplo 27.2

Determina el signo de:

\[\sen200^\circ, \qquad \cos200^\circ \qquad\text{y}\qquad \tan200^\circ.\]
Ver solución

El ángulo \(200^\circ\) se encuentra en el cuadrante III. En este cuadrante:

\[\sen200^\circ<0,\]
\[\cos200^\circ<0,\]

y:

\[\tan200^\circ>0.\]
Ejemplo 27.3

Determina el signo de:

\[\sen315^\circ \qquad\text{y}\qquad \cos315^\circ.\]
Ver solución

El ángulo \(315^\circ\) se encuentra en el cuadrante IV. En este cuadrante, el seno es negativo y el coseno es positivo:

\[\sen315^\circ<0, \qquad \cos315^\circ>0.\]

27.4 Ángulos coterminales#

Definición

Dos ángulos son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final cuando se colocan en posición estándar.

Sus medidas difieren en un número entero de vueltas completas.

Teorema Forma general

Si \(\theta\) está expresado en grados, todos sus ángulos coterminales pueden escribirse como:

\[\theta+360^\circ k, \qquad k\in\Z.\]

Si \(\theta\) está expresado en radianes, se escriben como:

\[\theta+2\pi k, \qquad k\in\Z.\]
Ejemplo 27.4

Encuentra un ángulo coterminal entre \(0^\circ\) y \(360^\circ\) para:

\[750^\circ.\]
Ver solución

Restamos vueltas completas:

\[\begin{aligned} 750^\circ-360^\circ &=390^\circ,\\ 390^\circ-360^\circ &=30^\circ. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[750^\circ\]

es coterminal con:

\[30^\circ.\]
Ejemplo 27.5

Encuentra un ángulo positivo coterminal con:

\[-45^\circ.\]
Ver solución

Sumamos una vuelta completa:

\[-45^\circ+360^\circ = 315^\circ.\]

Por tanto:

\[-45^\circ\]

es coterminal con:

\[315^\circ.\]

27.5 Periodicidad#

Teorema Periodicidad del seno y del coseno

El seno y el coseno tienen periodo:

\[360^\circ\]

o, equivalentemente:

\[2\pi.\]

Por tanto, si \(k\in\Z\):

\[\sen(\theta+360^\circ k) = \sen\theta,\]
\[\cos(\theta+360^\circ k) = \cos\theta.\]

En radianes:

\[\sen(\theta+2\pi k) = \sen\theta,\]
\[\cos(\theta+2\pi k) = \cos\theta.\]
Teorema Periodicidad de la tangente

La tangente tiene periodo:

\[180^\circ\]

o, equivalentemente:

\[\pi.\]

Por tanto:

\[\tan(\theta+180^\circ k) = \tan\theta.\]

En radianes:

\[\tan(\theta+\pi k) = \tan\theta.\]
Ejemplo 27.6

Calcula:

\[\sen390^\circ.\]
Ver solución

Restamos una vuelta completa:

\[390^\circ-360^\circ = 30^\circ.\]

Por periodicidad:

\[\sen390^\circ = \sen30^\circ = \frac{1}{2}.\]
Ejemplo 27.7

Calcula:

\[\tan225^\circ.\]
Ver solución

Como la tangente tiene periodo \(180^\circ\):

\[225^\circ-180^\circ = 45^\circ.\]

Por tanto:

\[\tan225^\circ = \tan45^\circ = 1.\]

27.6 Ángulos de referencia#

Definición

El ángulo de referencia de un ángulo \(\theta\) es el ángulo agudo formado entre el lado final de \(\theta\) y el eje \(x\).

Se denota mediante:

\[\theta'.\]

El ángulo de referencia siempre se considera positivo.

Teorema Ángulo de referencia en grados

Si \(0^\circ<\theta<360^\circ\), el ángulo de referencia se calcula de la siguiente manera:

  • Cuadrante I: \[\theta'=\theta.\]
  • Cuadrante II: \[\theta'=180^\circ-\theta.\]
  • Cuadrante III: \[\theta'=\theta-180^\circ.\]
  • Cuadrante IV: \[\theta'=360^\circ-\theta.\]
Teorema Ángulo de referencia en radianes

Si \(0<\theta<2\pi\), entonces:

  • Cuadrante I: \[\theta'=\theta.\]
  • Cuadrante II: \[\theta'=\pi-\theta.\]
  • Cuadrante III: \[\theta'=\theta-\pi.\]
  • Cuadrante IV: \[\theta'=2\pi-\theta.\]

Los ángulos de referencia pueden visualizarse en el mismo círculo trigonométrico:

Figura 27.3
Teorema Uso del ángulo de referencia

El valor absoluto de una función trigonométrica de \(\theta\) coincide con el valor de la misma función aplicada a su ángulo de referencia.

El signo se determina mediante el cuadrante:

\[\text{función}(\theta) = \pm\text{función}(\theta').\]
Ejemplo 27.8

Encuentra:

\[\sen150^\circ.\]
Ver solución

El ángulo \(150^\circ\) pertenece al cuadrante II, donde el seno es positivo.

El ángulo de referencia es:

\[\begin{aligned} \theta' &=180^\circ-150^\circ\\ &=30^\circ. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\sen150^\circ = \sen30^\circ = \frac{1}{2}.\]
Ejemplo 27.9

Encuentra:

\[\cos240^\circ.\]
Ver solución

El ángulo \(240^\circ\) pertenece al cuadrante III, donde el coseno es negativo.

El ángulo de referencia es:

\[\begin{aligned} \theta' &=240^\circ-180^\circ\\ &=60^\circ. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\cos240^\circ = -\cos60^\circ = -\frac{1}{2}.\]
Ejemplo 27.10

Encuentra:

\[\tan315^\circ.\]
Ver solución

El ángulo \(315^\circ\) pertenece al cuadrante IV, donde la tangente es negativa.

El ángulo de referencia es:

\[\begin{aligned} \theta' &=360^\circ-315^\circ\\ &=45^\circ. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\tan315^\circ = -\tan45^\circ = -1.\]

27.7 Ángulos negativos#

Teorema Fórmulas para ángulos negativos

El seno y la tangente son funciones impares:

\[\sen(-\theta) = -\sen\theta,\]
\[\tan(-\theta) = -\tan\theta.\]

El coseno es una función par:

\[\cos(-\theta) = \cos\theta.\]
Teorema Funciones recíprocas

La cosecante y la cotangente son funciones impares:

\[\csc(-\theta) = -\csc\theta,\]
\[\cot(-\theta) = -\cot\theta.\]

La secante es una función par:

\[\sec(-\theta) = \sec\theta.\]
Ejemplo 27.11

Calcula:

\[\sen(-30^\circ).\]
Ver solución

Como el seno es una función impar:

\[\begin{aligned} \sen(-30^\circ) &=-\sen30^\circ\\ &=-\frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Ejemplo 27.12

Calcula:

\[\cos(-60^\circ).\]
Ver solución

Como el coseno es una función par:

\[\begin{aligned} \cos(-60^\circ) &=\cos60^\circ\\ &=\frac{1}{2}. \end{aligned}\]

27.8 Fórmulas de reducción#

Teorema Ángulos complementarios

Para los valores de \(\theta\) en los que las funciones estén definidas:

\[\sen(90^\circ-\theta) = \cos\theta,\]
\[\cos(90^\circ-\theta) = \sen\theta,\]
\[\tan(90^\circ-\theta) = \cot\theta.\]

También:

\[\cot(90^\circ-\theta) = \tan\theta,\]
\[\sec(90^\circ-\theta) = \csc\theta,\]
\[\csc(90^\circ-\theta) = \sec\theta.\]
Teorema Reducción en el segundo cuadrante

Se cumplen:

\[\sen(180^\circ-\theta) = \sen\theta,\]
\[\cos(180^\circ-\theta) = -\cos\theta,\]
\[\tan(180^\circ-\theta) = -\tan\theta.\]
Teorema Reducción en el tercer cuadrante

Se cumplen:

\[\sen(180^\circ+\theta) = -\sen\theta,\]
\[\cos(180^\circ+\theta) = -\cos\theta,\]
\[\tan(180^\circ+\theta) = \tan\theta.\]
Teorema Reducción en el cuarto cuadrante

Se cumplen:

\[\sen(360^\circ-\theta) = -\sen\theta,\]
\[\cos(360^\circ-\theta) = \cos\theta,\]
\[\tan(360^\circ-\theta) = -\tan\theta.\]
Ejemplo 27.13

Expresa:

\[\tan70^\circ\]

en términos de una cofunción.

Ver solución

Como:

\[70^\circ = 90^\circ-20^\circ,\]

se tiene:

\[\begin{aligned} \tan70^\circ &= \tan(90^\circ-20^\circ)\\ &= \cot20^\circ. \end{aligned}\]
Ejemplo 27.14

Simplifica:

\[\cos(180^\circ-\theta)+\cos\theta.\]
Ver solución

Aplicamos:

\[\cos(180^\circ-\theta) = -\cos\theta.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} \cos(180^\circ-\theta)+\cos\theta &= -\cos\theta+\cos\theta\\ &=0. \end{aligned}\]

27.9 Valores de funciones en ángulos notables extendidos#

Teorema Valores más frecuentes

Los principales valores exactos son:

\[\begin{aligned} \sen0^\circ &=0,& \cos0^\circ &=1,& \tan0^\circ &=0,\\[0.6em] \sen30^\circ &=\frac{1}{2},& \cos30^\circ &=\frac{\sqrt{3}}{2},& \tan30^\circ &=\frac{\sqrt{3}}{3},\\[0.6em] \sen45^\circ &=\frac{\sqrt{2}}{2},& \cos45^\circ &=\frac{\sqrt{2}}{2},& \tan45^\circ &=1,\\[0.6em] \sen60^\circ &=\frac{\sqrt{3}}{2},& \cos60^\circ &=\frac{1}{2},& \tan60^\circ &=\sqrt{3},\\[0.6em] \sen90^\circ &=1,& \cos90^\circ &=0,& \tan90^\circ &\text{ no está definida}. \end{aligned}\]
Advertencia

La tangente de \(90^\circ\) no es infinita.

La tangente se define mediante:

\[\tan\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta}.\]

Como:

\[\cos90^\circ=0,\]

se produciría una división entre cero. Por esta razón:

\[\tan90^\circ\]

no está definida.

27.10 Puntos notables del círculo unitario#

Los puntos principales del círculo trigonométrico son:

\[\begin{aligned} 0^\circ &\longrightarrow (1,0),\\ 30^\circ &\longrightarrow \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right),\\ 45^\circ &\longrightarrow \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right),\\ 60^\circ &\longrightarrow \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right),\\ 90^\circ &\longrightarrow (0,1),\\ 120^\circ &\longrightarrow \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right),\\ 135^\circ &\longrightarrow \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right),\\ 150^\circ &\longrightarrow \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right),\\ 180^\circ &\longrightarrow (-1,0),\\ 210^\circ &\longrightarrow \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right),\\ 225^\circ &\longrightarrow \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right),\\ 240^\circ &\longrightarrow \left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\\ 270^\circ &\longrightarrow (0,-1),\\ 300^\circ &\longrightarrow \left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right),\\ 315^\circ &\longrightarrow \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right),\\ 330^\circ &\longrightarrow \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right),\\ 360^\circ &\longrightarrow (1,0). \end{aligned}\]
Nota

En cada punto:

\[(x,y) = (\cos\theta,\sen\theta).\]

Por tanto, la primera coordenada proporciona el coseno y la segunda proporciona el seno.

27.11 Círculo trigonométrico con ángulos notables#

Figura 27.4

27.12 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 27.1

Indica el cuadrante en el que se encuentra cada ángulo:

\[45^\circ, \qquad 120^\circ, \qquad 200^\circ, \qquad 310^\circ.\]
Ver solución
  • \(45^\circ\): cuadrante I.
  • \(120^\circ\): cuadrante II.
  • \(200^\circ\): cuadrante III.
  • \(310^\circ\): cuadrante IV.
Ejercicio 27.2

Determina el signo de:

\[\sen130^\circ, \qquad \cos130^\circ \qquad\text{y}\qquad \tan130^\circ.\]
Ver solución

\(130^\circ\) está en el cuadrante II: \(\sen 130^\circ > 0\), \(\cos 130^\circ < 0\), \(\tan 130^\circ < 0\).

Ejercicio 27.3

Determina el signo de:

\[\sen280^\circ \qquad\text{y}\qquad \cos280^\circ.\]
Ver solución

\(280^\circ\) está en el cuadrante IV: \(\sen 280^\circ < 0\), \(\cos 280^\circ > 0\).

Ejercicio 27.4

Encuentra el ángulo de referencia de:

\[135^\circ.\]
Ver solución

\(\theta' = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).

Ejercicio 27.5

Encuentra el ángulo de referencia de:

\[210^\circ.\]
Ver solución

\(\theta' = 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ\).

Ejercicio 27.6

Encuentra el ángulo de referencia de:

\[300^\circ.\]
Ver solución

\(\theta' = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ\).

Ejercicio 27.7

Calcula:

\[\sen120^\circ.\]
Ver solución

\(120^\circ\) está en el II cuadrante. Ángulo de referencia: \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). \[\sen 120^\circ = +\sen 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Ejercicio 27.8

Calcula:

\[\cos225^\circ.\]
Ver solución

\(225^\circ\) está en el III cuadrante. Ángulo de referencia: \(225^\circ - 180^\circ = 45^\circ\). \[\cos 225^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Ejercicio 27.9

Calcula:

\[\tan330^\circ.\]
Ver solución

\(330^\circ\) está en el IV cuadrante. Ángulo de referencia: \(360^\circ - 330^\circ = 30^\circ\). \[\tan 330^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}.\]

Ejercicio 27.10

Calcula:

\[\sen(-45^\circ).\]
Ver solución
\[\sen(-45^\circ) = -\sen 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Ejercicio 27.11

Expresa:

\[\sen50^\circ\]

en términos de una cofunción.

Ver solución

Como \(50^\circ = 90^\circ - 40^\circ\): \[\sen 50^\circ = \sen(90^\circ - 40^\circ) = \cos 40^\circ.\]

Ejercicio 27.12

Simplifica:

\[\sen(180^\circ-\theta)\csc\theta.\]

Considera únicamente los valores de \(\theta\) para los que la expresión está definida.

Ver solución
\[\sen(180^\circ - \theta) \cdot \csc\theta = \sen\theta \cdot \frac{1}{\sen\theta} = 1.\]