Capítulo 28

Identidades trigonométricas

UNAM IPN

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones trigonométricas que se cumple para todos los valores del ángulo para los que ambas expresiones están definidas.

Las identidades permiten simplificar expresiones, transformar unas funciones trigonométricas en otras, demostrar igualdades y resolver ecuaciones. En este capítulo estudiarás las identidades recíprocas, de cociente y pitagóricas, así como las principales estrategias para simplificar expresiones y demostrar identidades.

28.1 Identidades y ecuaciones trigonométricas#

Definición

Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para todos los valores de la variable que pertenecen al dominio de ambos miembros.

Por ejemplo:

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1\]

es una identidad porque se cumple para todo número real \(\theta\).

Definición

Una ecuación trigonométrica es una igualdad que se cumple solamente para determinados valores de la variable.

Por ejemplo:

\[\sen\theta=\frac{1}{2}\]

no es una identidad, pues únicamente se cumple para ciertos valores de \(\theta\).

Advertencia

Una identidad no debe confundirse con una ecuación.

En una ecuación se buscan los valores que hacen verdadera la igualdad. En una identidad se demuestra que ambos miembros representan la misma expresión dentro de su dominio común.

28.2 Identidades recíprocas#

Teorema Identidades recíprocas

Las funciones cosecante, secante y cotangente son los recíprocos del seno, coseno y tangente, respectivamente:

\[\csc\theta = \frac{1}{\sen\theta}, \qquad \sen\theta\neq0;\]

\[\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \cos\theta\neq0;\]

\[\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta},\]

para los valores de \(\theta\) en los que ambas expresiones estén definidas.

Las identidades también pueden expresarse en la dirección contraria:

\[\sen\theta = \frac{1}{\csc\theta},\]

\[\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta},\]

\[\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}.\]

En forma de producto:

\[\sen\theta\csc\theta=1,\]

\[\cos\theta\sec\theta=1,\]

\[\tan\theta\cot\theta=1,\]

siempre que las funciones involucradas estén definidas.

Ejemplo 28.1

Simplifica:

\[\sen\theta\csc\theta.\]

Ver solución

Utilizamos la identidad recíproca:

\[\csc\theta = \frac{1}{\sen\theta}.\]

Entonces:

\[\begin{aligned} \sen\theta\csc\theta &= \sen\theta \left( \frac{1}{\sen\theta} \right)\\ &=1. \end{aligned}\]

La simplificación es válida cuando:

\[\sen\theta\neq0.\]

Ejemplo 28.2

Simplifica:

\[\cos\theta\sec\theta+\sen\theta\csc\theta.\]

Ver solución

Aplicamos las identidades recíprocas:

\[\cos\theta\sec\theta=1\]

\[\sen\theta\csc\theta=1.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} \cos\theta\sec\theta+\sen\theta\csc\theta &=1+1\\ &=2. \end{aligned}\]

La expresión original requiere:

\[\sen\theta\neq0 \qquad\text{y}\qquad \cos\theta\neq0.\]

28.3 Identidades de cociente#

Teorema Identidades de cociente

La tangente y la cotangente pueden expresarse como cocientes de seno y coseno:

\[\tan\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos\theta\neq0;\]

\[\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sen\theta}, \qquad \sen\theta\neq0.\]

Nota

Las identidades de cociente explican los signos de la tangente y la cotangente.

Cuando el seno y el coseno tienen el mismo signo:

\[\tan\theta>0.\]

Cuando tienen signos distintos:

\[\tan\theta<0.\]

Ejemplo 28.3

Simplifica:

\[\frac{\sen\theta}{\cos\theta}\cot\theta.\]

Ver solución

Reconocemos que:

\[\frac{\sen\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.\]

Por tanto:

\[\begin{aligned} \frac{\sen\theta}{\cos\theta}\cot\theta &= \tan\theta\cot\theta\\ &=1. \end{aligned}\]

La expresión original requiere:

\[\sen\theta\neq0 \qquad\text{y}\qquad \cos\theta\neq0.\]

28.4 Identidades pitagóricas#

Teorema Identidad pitagórica fundamental

Para todo número real \(\theta\):

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.\]

Nota

La notación:

\[\sen^2\theta\]

significa:

\[(\sen\theta)^2.\]

No significa:

\[\sen(\theta^2).\]

Teorema Identidades pitagóricas derivadas

Para los valores de \(\theta\) en los que las expresiones estén definidas:

\[1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\]

\[1+\cot^2\theta=\csc^2\theta.\]

28.5 Obtención de las identidades pitagóricas#

Las identidades derivadas pueden obtenerse a partir de:

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.\]

Si dividimos todos los términos entre \(\cos^2\theta\), con \(\cos\theta\neq0\), obtenemos:

\[\frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}.\]

Esto produce:

\[\tan^2\theta+1=\sec^2\theta.\]

Si dividimos la identidad fundamental entre \(\sen^2\theta\), con \(\sen\theta\neq0\), obtenemos:

\[\frac{\sen^2\theta}{\sen^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sen^2\theta} = \frac{1}{\sen^2\theta}.\]

Por tanto:

\[1+\cot^2\theta=\csc^2\theta.\]

28.6 Equivalencias útiles#

Teorema Despejes de la identidad fundamental

A partir de:

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1\]

se obtiene:

\[\sen^2\theta = 1-\cos^2\theta\]

\[\cos^2\theta = 1-\sen^2\theta.\]

Teorema Despejes de las identidades derivadas

A partir de:

\[1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\]

se obtiene:

\[\tan^2\theta = \sec^2\theta-1\]

\[\sec^2\theta-\tan^2\theta=1.\]

A partir de:

\[1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\]

se obtiene:

\[\cot^2\theta = \csc^2\theta-1\]

\[\csc^2\theta-\cot^2\theta=1.\]

Nota

Estas formas despejadas son especialmente útiles cuando una expresión contiene una diferencia como:

\[1-\sen^2\theta,\]

\[1-\cos^2\theta,\]

\[\sec^2\theta-\tan^2\theta\]

\[\csc^2\theta-\cot^2\theta.\]

28.7 Expresión de funciones en términos de seno y coseno#

Teorema Conversión a seno y coseno

Todas las funciones trigonométricas básicas pueden expresarse mediante el seno y el coseno:

\[\tan\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta},\]

\[\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sen\theta},\]

\[\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\]

\[\csc\theta = \frac{1}{\sen\theta}.\]

Nota

Convertir todas las funciones a seno y coseno suele facilitar la simplificación porque permite trabajar con fracciones algebraicas y utilizar directamente:

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.\]

28.8 Expresión de una función en términos de otra#

Ejemplo 28.4

Expresa \(\sen\theta\) en términos de \(\cos\theta\).

Ver solución

Partimos de:

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.\]

Despejamos:

\[\begin{aligned} \sen^2\theta &=1-\cos^2\theta. \end{aligned}\]

Aplicamos raíz cuadrada:

\[\sen\theta = \pm\sqrt{1-\cos^2\theta}.\]

El signo depende del cuadrante en el que se encuentre \(\theta\).

Advertencia

De:

\[\sen^2\theta = 1-\cos^2\theta\]

no puede concluirse únicamente:

\[\sen\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta}.\]

Al aplicar raíz cuadrada deben considerarse ambos signos:

\[\sen\theta = \pm\sqrt{1-\cos^2\theta}.\]

El cuadrante determina el signo correcto.

Ejemplo 28.5

Si:

\[\cos\theta=\frac{4}{5}\]

y \(\theta\) se encuentra en el primer cuadrante, encuentra \(\sen\theta\) y \(\tan\theta\).

Ver solución

Utilizamos la identidad fundamental:

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.\]

Sustituimos:

\[\begin{aligned} \sen^2\theta &= 1-\cos^2\theta\\ &= 1-\left(\frac{4}{5}\right)^2\\ &= 1-\frac{16}{25}\\ &= \frac{9}{25}. \end{aligned}\]

Por tanto:

\[\sen\theta = \pm\frac{3}{5}.\]

Como \(\theta\) se encuentra en el primer cuadrante, el seno es positivo:

\[\sen\theta = \frac{3}{5}.\]

Ahora calculamos la tangente:

\[\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{\sen\theta}{\cos\theta}\\ &= \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}\\ &= \frac{3}{4}. \end{aligned}\]

Ejemplo 28.6

Si:

\[\sen\theta=\frac{5}{13}\]

y \(\theta\) está en el segundo cuadrante, encuentra \(\cos\theta\) y \(\tan\theta\).

Ver solución

Aplicamos la identidad fundamental:

\[\begin{aligned} \cos^2\theta &= 1-\sen^2\theta\\ &= 1-\left(\frac{5}{13}\right)^2\\ &= 1-\frac{25}{169}\\ &= \frac{144}{169}. \end{aligned}\]

Entonces:

\[\cos\theta = \pm\frac{12}{13}.\]

En el segundo cuadrante, el coseno es negativo:

\[\cos\theta = -\frac{12}{13}.\]

Calculamos la tangente:

\[\begin{aligned} \tan\theta &= \frac{\sen\theta}{\cos\theta}\\ &= \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}\\ &= -\frac{5}{12}. \end{aligned}\]

28.9 Simplificación de expresiones#

Teorema Estrategia de simplificación

Para simplificar una expresión trigonométrica puede seguirse este procedimiento:

Identificar las identidades que aparecen directamente.
Sustituir secante, cosecante, tangente y cotangente por expresiones en seno y coseno cuando resulte conveniente.
Factorizar o buscar un denominador común.
Aplicar las identidades pitagóricas.
Cancelar únicamente factores completos.
Indicar las restricciones del dominio cuando la simplificación elimine algún denominador.

Advertencia

Solo pueden cancelarse factores, no términos separados por una suma o una resta.

Por ejemplo:

\[\frac{\sen\theta\cos\theta}{\cos\theta} = \sen\theta\]

cuando \(\cos\theta\neq0\).

En cambio, no puede cancelarse el coseno en:

\[\frac{\sen\theta+\cos\theta}{\cos\theta}.\]

Ejemplo 28.7

Simplifica:

\[\frac{\sen^2\theta+\cos^2\theta}{\cos\theta}.\]

Ver solución

Utilizamos:

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1.\]

Entonces:

\[\begin{aligned} \frac{\sen^2\theta+\cos^2\theta}{\cos\theta} &= \frac{1}{\cos\theta}\\ &= \sec\theta. \end{aligned}\]

La expresión está definida cuando:

\[\cos\theta\neq0.\]

Ejemplo 28.8

Simplifica:

\[\tan\theta\cos\theta.\]

Ver solución

Expresamos la tangente mediante seno y coseno:

\[\begin{aligned} \tan\theta\cos\theta &= \left( \frac{\sen\theta}{\cos\theta} \right) \cos\theta\\ &= \sen\theta. \end{aligned}\]

Esta equivalencia conserva la restricción original:

\[\cos\theta\neq0.\]

Ejemplo 28.9

Simplifica:

\[\frac{1-\sen^2\theta}{\cos\theta}.\]

Ver solución

Por la identidad pitagórica:

\[1-\sen^2\theta = \cos^2\theta.\]

Entonces:

\[\begin{aligned} \frac{1-\sen^2\theta}{\cos\theta} &= \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta}\\ &= \cos\theta. \end{aligned}\]

La expresión original requiere:

\[\cos\theta\neq0.\]

Ejemplo 28.10

Simplifica:

\[\frac{\cos\theta}{\sen\theta} + \frac{\sen\theta}{\cos\theta}.\]

Ver solución

El denominador común es:

\[\sen\theta\cos\theta.\]

Entonces:

\[\begin{aligned} \frac{\cos\theta}{\sen\theta} + \frac{\sen\theta}{\cos\theta} &= \frac{\cos^2\theta+\sen^2\theta} {\sen\theta\cos\theta}\\ &= \frac{1}{\sen\theta\cos\theta}\\ &= \csc\theta\sec\theta. \end{aligned}\]

La expresión original requiere:

\[\sen\theta\neq0 \qquad\text{y}\qquad \cos\theta\neq0.\]

Ejemplo 28.11

Simplifica:

\[\sec^2\theta-\tan^2\theta.\]

Ver solución

De:

\[1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\]

se obtiene:

\[\sec^2\theta-\tan^2\theta=1.\]

Ejemplo 28.12

Simplifica:

\[\frac{\sec\theta}{\csc\theta}.\]

Ver solución

Escribimos ambas funciones mediante seno y coseno:

\[\begin{aligned} \frac{\sec\theta}{\csc\theta} &= \frac{\frac{1}{\cos\theta}} {\frac{1}{\sen\theta}}\\ &= \frac{\sen\theta}{\cos\theta}\\ &= \tan\theta. \end{aligned}\]

La expresión original está definida cuando:

\[\sen\theta\neq0 \qquad\text{y}\qquad \cos\theta\neq0.\]

28.10 Uso de conjugados#

En algunas expresiones aparecen factores como:

\[1+\sen\theta \qquad\text{y}\qquad 1-\sen\theta.\]

Estos factores son conjugados y satisfacen:

\[(1+\sen\theta)(1-\sen\theta) = 1-\sen^2\theta = \cos^2\theta.\]

De manera semejante:

\[(1+\cos\theta)(1-\cos\theta) = 1-\cos^2\theta = \sen^2\theta.\]

Ejemplo 28.13

Simplifica:

\[\frac{\cos\theta}{1-\sen\theta}.\]

Ver solución

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado:

\[1+\sen\theta.\]

Entonces:

\[\begin{aligned} \frac{\cos\theta}{1-\sen\theta} &= \frac{\cos\theta(1+\sen\theta)} {(1-\sen\theta)(1+\sen\theta)}\\ &= \frac{\cos\theta(1+\sen\theta)} {1-\sen^2\theta}\\ &= \frac{\cos\theta(1+\sen\theta)} {\cos^2\theta}\\ &= \frac{1+\sen\theta}{\cos\theta}. \end{aligned}\]

También puede escribirse como:

\[\sec\theta+\tan\theta.\]

La igualdad se considera dentro del dominio común de las expresiones.

28.11 Demostración de identidades#

Teorema Estrategia de demostración

Para demostrar una identidad trigonométrica:

identifica el miembro más complicado;
transforma solamente ese miembro mediante operaciones algebraicas válidas e identidades conocidas;
evita asumir como verdadera la igualdad que se pretende demostrar;
no pases términos de un miembro a otro como si estuvieras resolviendo una ecuación;
continúa hasta obtener exactamente el otro miembro;
considera siempre el dominio común de ambas expresiones.

Nota

También es válido transformar ambos miembros por separado hasta obtener una misma expresión intermedia.

Sin embargo, en demostraciones elementales suele ser más claro trabajar únicamente con el miembro más complicado.

Advertencia

Comprobar una igualdad para uno o varios valores de \(\theta\) no demuestra que sea una identidad.

Una identidad debe justificarse mediante transformaciones algebraicas válidas para todos los valores de su dominio.

Ejemplo 28.14

Demuestra que:

\[\frac{\sen\theta}{\csc\theta} + \frac{\cos\theta}{\sec\theta} = 1.\]

Ver solución

Trabajamos con el miembro izquierdo:

\[\begin{aligned} \frac{\sen\theta}{\csc\theta} + \frac{\cos\theta}{\sec\theta} &= \frac{\sen\theta} {\frac{1}{\sen\theta}} + \frac{\cos\theta} {\frac{1}{\cos\theta}}\\ &= \sen^2\theta+\cos^2\theta\\ &=1. \end{aligned}\]

Por tanto, la identidad queda demostrada dentro del dominio de la expresión original.

Ejemplo 28.15

Demuestra que:

\[(\sen\theta+\cos\theta)^2 = 1+2\sen\theta\cos\theta.\]

Ver solución

Desarrollamos el miembro izquierdo:

\[\begin{aligned} (\sen\theta+\cos\theta)^2 &= \sen^2\theta + 2\sen\theta\cos\theta + \cos^2\theta\\ &= \left( \sen^2\theta+\cos^2\theta \right) + 2\sen\theta\cos\theta\\ &= 1+2\sen\theta\cos\theta. \end{aligned}\]

Por tanto, la identidad queda demostrada.

Ejemplo 28.16

Demuestra que:

\[\sec\theta-\cos\theta = \tan\theta\sen\theta.\]

Ver solución

Trabajamos con el miembro izquierdo:

\[\begin{aligned} \sec\theta-\cos\theta &= \frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta\\ &= \frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta}\\ &= \frac{\sen^2\theta}{\cos\theta}\\ &= \left( \frac{\sen\theta}{\cos\theta} \right) \sen\theta\\ &= \tan\theta\sen\theta. \end{aligned}\]

Por tanto, la identidad queda demostrada cuando:

\[\cos\theta\neq0.\]

28.12 Errores frecuentes#

Advertencia

Al trabajar con identidades trigonométricas, evita los siguientes errores:

Confundir: \[\sen^2\theta\] con: \[\sen(\theta^2).\]
Suponer incorrectamente: \[\sen(\alpha+\beta) = \sen\alpha+\sen\beta.\]
Suponer incorrectamente: \[\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha+\cos\beta.\]
Cancelar términos que no son factores.
Omitir el signo negativo al aplicar: \[\sqrt{u^2}=|u|.\]
Dividir entre una expresión que puede ser cero sin indicar la restricción correspondiente.
Verificar únicamente un valor numérico y considerar que eso demuestra una identidad.

28.13 Resumen de identidades fundamentales#

Las identidades principales del capítulo son:

Recíprocas

\[\csc\theta = \frac{1}{\sen\theta},\]

\[\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\]

\[\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}.\]
De cociente

\[\tan\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta},\]

\[\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sen\theta}.\]
Pitagóricas

\[\sen^2\theta+\cos^2\theta=1,\]

\[1+\tan^2\theta=\sec^2\theta,\]

\[1+\cot^2\theta=\csc^2\theta.\]

28.14 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 28.1

Simplifica:

\[\tan\theta\cos\theta.\]

Ver solución

\[\tan\theta \cdot \cos\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \cos\theta = \sin\theta.\]

Ejercicio 28.2

Simplifica:

\[\cot\theta\sen\theta.\]

Ver solución

\[\cot\theta \cdot \sin\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta = \cos\theta.\]

Ejercicio 28.3

Simplifica:

\[\sen\theta\sec\theta.\]

Ver solución

\[\sin\theta \cdot \sec\theta = \sin\theta \cdot \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.\]

Ejercicio 28.4

Simplifica:

\[\frac{1-\cos^2\theta}{\sen\theta}.\]

Indica las restricciones de la expresión original.

Ver solución

Como \(1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta\): \[\frac{\sin^2\theta}{\sin\theta} = \sin\theta.\]

Ejercicio 28.5

Simplifica:

\[\frac{\sen^2\theta+\cos^2\theta}{\sen\theta}.\]

Indica las restricciones de la expresión original.

Ver solución

El numerador es 1: \[\frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta.\]

Ejercicio 28.6

Si:

\[\sen\theta=\frac{3}{5}\]

y \(\theta\) se encuentra en el primer cuadrante, encuentra:

\[\cos\theta \qquad\text{y}\qquad \tan\theta.\]

Ver solución

\[\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.\] Primer cuadrante: \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\). \[\tan\theta = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}.\]

Ejercicio 28.7

Si:

\[\cos\theta=\frac{5}{13}\]

y \(\theta\) se encuentra en el cuarto cuadrante, encuentra:

\[\sen\theta \qquad\text{y}\qquad \tan\theta.\]

Ver solución

\[\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.\] Cuarto cuadrante: \(\sin\theta = -\dfrac{12}{13}\). \[\tan\theta = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}.\]

Ejercicio 28.8

Simplifica:

\[\csc^2\theta-\cot^2\theta.\]

Ver solución

Por la identidad pitagórica: \[\csc^2\theta - \cot^2\theta = 1.\]

Ejercicio 28.9

Simplifica:

\[\frac{\sec\theta}{\tan\theta}.\]

Indica las restricciones de la expresión original.

Ver solución

\[\frac{\sec\theta}{\tan\theta} = \frac{1/\cos\theta}{\sin\theta/\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta} = \csc\theta.\]

Ejercicio 28.10

Demuestra que:

\[1+\tan^2\theta=\sec^2\theta.\]

Ver solución

Partimos de la identidad pitagórica: \[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.\] Dividimos entre \(\cos^2\theta\): \[\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta},\] \[\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta. \quad \checkmark\]

Ejercicio 28.11

Demuestra que:

\[\cot^2\theta+1=\csc^2\theta.\]

Ver solución

De la identidad pitagórica, dividimos entre \(\sin^2\theta\): \[1 + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta},\] \[1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta. \quad \checkmark\]

Ejercicio 28.12

Demuestra que:

\[\sen\theta\cot\theta=\cos\theta.\]

Considera únicamente los valores para los que la expresión original está definida.

Ver solución

\[\sin\theta \cdot \cot\theta = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta. \quad \checkmark\]