Capítulo 34

Parábola

UNAMIPNCENEVAL

La parábola es una sección cónica definida mediante un foco y una directriz. Para resolver ejercicios es importante reconocer su orientación, identificar el parámetro \(p\) y calcular el vértice, el foco, la directriz, el eje focal y el lado recto.

34.1 Definición y elementos#

Definición

La parábola es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija, llamada directriz:

\[d(P,F)=d(P,\ell).\]

Sus elementos principales son:

Vértice \(V\): punto donde inicia la abertura.
Foco \(F\): punto fijo situado dentro de la parábola.
Directriz: recta situada frente a la abertura.
Eje focal: eje de simetría que pasa por \(V\) y \(F\).
Parámetro \(p\): número que determina la orientación y la distancia entre el vértice y el foco.
Lado recto: cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal.

Las relaciones fundamentales son:

\[VF=|p|\]

\[|LR|=|4p|.\]

34.2 Formas ordinarias#

34.2.1 Parábola horizontal#

\[(y-k)^2=4p(x-h)\]

\[V(h,k), \qquad F(h+p,k),\]

\[\text{directriz: }x=h-p, \qquad \text{eje focal: }y=k.\]

Si \(p>0\), abre hacia la derecha.
Si \(p<0\), abre hacia la izquierda.

34.2.2 Parábola vertical#

\[(x-h)^2=4p(y-k)\]

\[V(h,k), \qquad F(h,k+p),\]

\[\text{directriz: }y=k-p, \qquad \text{eje focal: }x=h.\]

Si \(p>0\), abre hacia arriba.
Si \(p<0\), abre hacia abajo.

Teorema Regla rápida

La variable elevada al cuadrado determina la orientación del eje:

\[y^2 \quad\Longrightarrow\quad \text{parábola horizontal},\]

\[x^2 \quad\Longrightarrow\quad \text{parábola vertical}.\]

Advertencia

El coeficiente que aparece en la ecuación es \(4p\), no \(p\).

Por ejemplo, si:

\[4p=12,\]

entonces:

\[p=3.\]

34.3 Vértice en el origen#

Cuando:

\[V(0,0),\]

se utilizan las formas:

\[y^2=4px\]

\[x^2=4py.\]

Ejemplo 34.1

Encuentra los elementos de:

\[y^2=8x.\]

Ver solución

Comparamos con:

\[y^2=4px.\]

Entonces:

\[4p=8 \quad\Longrightarrow\quad p=2.\]

Como \(p>0\), abre hacia la derecha.

\[V(0,0), \qquad F(2,0),\]

\[\text{directriz: }x=-2,\]

\[\text{eje focal: }y=0,\]

\[|LR|=8.\]

Ejemplo 34.2

Encuentra los elementos de:

\[x^2=-12y.\]

Ver solución

Comparamos con:

\[x^2=4py.\]

Entonces:

\[4p=-12 \quad\Longrightarrow\quad p=-3.\]

Como \(p<0\), abre hacia abajo.

\[V(0,0), \qquad F(0,-3),\]

\[\text{directriz: }y=3,\]

\[\text{eje focal: }x=0,\]

\[|LR|=12.\]

34.4 Vértice fuera del origen#

Ejemplo 34.3

Encuentra la ecuación de la parábola con:

\[V(2,1) \qquad\text{y}\qquad F(2,4).\]

Ver solución

El vértice y el foco tienen la misma coordenada \(x\). Por tanto, la parábola es vertical.

\[p=4-1=3.\]

Como \(p>0\), abre hacia arriba.

\[(x-h)^2=4p(y-k).\]

Sustituimos:

\[(x-2)^2=12(y-1).\]

Sus elementos son:

\[F(2,4),\]

\[\text{directriz: }y=-2,\]

\[\text{eje focal: }x=2,\]

\[|LR|=12.\]

Ejemplo 34.4

Encuentra la ecuación de la parábola con:

\[V(-1,-2) \qquad\text{y}\qquad F(2,-2).\]

Ver solución

El vértice y el foco tienen la misma coordenada \(y\). Por tanto, la parábola es horizontal.

\[p=2-(-1)=3.\]

Como \(p>0\), abre hacia la derecha.

\[(y-k)^2=4p(x-h).\]

Sustituimos:

\[(y+2)^2=12(x+1).\]

Sus elementos son:

\[F(2,-2),\]

\[\text{directriz: }x=-4,\]

\[\text{eje focal: }y=-2,\]

\[|LR|=12.\]

34.5 De la forma general a la ordinaria#

Una parábola no rotada contiene solo una variable elevada al cuadrado.

\[Ax^2+Dx+Ey+F=0\]

representa una parábola vertical, mientras que:

\[Cy^2+Dx+Ey+F=0\]

representa una parábola horizontal.

Para obtener sus elementos se completa el cuadrado.

Ejemplo 34.5

Transforma:

\[y^2-6y-8x+25=0\]

a la forma ordinaria.

Ver solución

\[y^2-6y=8x-25.\]

Completamos el cuadrado:

\[y^2-6y+9=8x-25+9.\]

\[(y-3)^2=8x-16.\]

\[(y-3)^2=8(x-2).\]

Comparamos con:

\[(y-k)^2=4p(x-h).\]

Entonces:

\[V(2,3), \qquad 4p=8, \qquad p=2.\]

Por tanto:

\[F(4,3),\]

\[\text{directriz: }x=0,\]

\[\text{eje focal: }y=3,\]

\[|LR|=8.\]

Ejemplo 34.6

Transforma:

\[x^2+4x+6y-8=0.\]

Ver solución

\[x^2+4x=-6y+8.\]

Completamos el cuadrado:

\[x^2+4x+4=-6y+12.\]

\[(x+2)^2=-6(y-2).\]

Por tanto:

\[V(-2,2), \qquad 4p=-6, \qquad p=-\frac{3}{2}.\]

\[F\left(-2,\frac{1}{2}\right),\]

\[\text{directriz: }y=\frac{7}{2},\]

\[\text{eje focal: }x=-2,\]

\[|LR|=6.\]

34.6 Procedimiento rápido#

Escribe la ecuación en forma ordinaria.
Identifica la variable elevada al cuadrado.
Lee el vértice: \[V(h,k).\]
Iguala el coeficiente a: \[4p.\]
Calcula: \[p=\frac{4p}{4}.\]
Usa el signo de \(p\) para determinar la abertura.
Calcula el foco y la directriz.
Calcula: \[|LR|=|4p|.\]

34.7 Resumen#

\[\begin{aligned} (y-k)^2&=4p(x-h) &&\text{horizontal},\\ (x-h)^2&=4p(y-k) &&\text{vertical}. \end{aligned}\]

\[\begin{array}{c|c|c} \text{Forma} & \text{Foco} & \text{Directriz}\\ \hline (y-k)^2=4p(x-h) & (h+p,k) & x=h-p \\[4pt] (x-h)^2=4p(y-k) & (h,k+p) & y=k-p \end{array}\]

\[|LR|=|4p|\]

34.8 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

\(y^2\) produce una parábola horizontal.
\(x^2\) produce una parábola vertical.
El coeficiente es \(4p\), no \(p\).
El signo de \(p\) determina la abertura.
La directriz es una recta, no un punto.
El foco y la directriz quedan en lados opuestos del vértice.
La longitud del lado recto es \(|4p|\).

34.9 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 34.1

Encuentra la ecuación, la directriz y la longitud del lado recto de la parábola con:

\[V(0,0) \qquad\text{y}\qquad F(3,0).\]

Ver solución

Eje focal sobre el eje \(x\) con \(p = 3\), abre hacia la derecha: \[y^2 = 4(3)x \Longrightarrow y^2 = 12x.\] Directriz: \(x = -3\). Lado recto: \(|LR| = 12\).

Ejercicio 34.2

Encuentra la ecuación, la directriz y la longitud del lado recto de la parábola con:

\[V(0,0) \qquad\text{y}\qquad F(0,-2).\]

Ver solución

Eje focal sobre el eje \(y\) con \(p = -2\), abre hacia abajo: \[x^2 = 4(-2)y \Longrightarrow x^2 = -8y.\] Directriz: \(y = 2\). Lado recto: \(|LR| = 8\).

Ejercicio 34.3

Encuentra el vértice, el foco, la directriz y el lado recto de:

\[y^2=16x.\]

Ver solución

De la ecuación \(y^2 = 16x\), \(V(0,0)\) y \(4p = 16 \Longrightarrow p = 4\), abre hacia la derecha. \[F(4, 0), \qquad \text{directriz: } x = -4, \qquad |LR| = 16.\]

Ejercicio 34.4

Encuentra el vértice, el foco, la directriz y el lado recto de:

\[x^2=-8y.\]

Ver solución

De la ecuación \(x^2 = -8y\), \(V(0,0)\) y \(4p = -8 \Longrightarrow p = -2\), abre hacia abajo. \[F(0, -2), \qquad \text{directriz: } y = 2, \qquad |LR| = 8.\]

Ejercicio 34.5

Encuentra la ecuación y la directriz de la parábola con:

\[V(1,2) \qquad\text{y}\qquad F(1,5).\]

Ver solución

Eje focal paralelo al eje \(y\) con \(p = 5 - 2 = 3\), abre hacia arriba: \[(x - 1)^2 = 4(3)(y - 2) \Longrightarrow (x - 1)^2 = 12(y - 2).\] Directriz: \(y = 2 - 3 = -1\).

Ejercicio 34.6

Transforma a la forma ordinaria y determina sus elementos:

\[x^2-4x-6y+10=0.\]

Ver solución

Agrupamos y completamos TCP: \[x^2 - 4x = 6y - 10 \Longrightarrow x^2 - 4x + 4 = 6y - 10 + 4.\] \[(x - 2)^2 = 6y - 6 \Longrightarrow (x - 2)^2 = 6(y - 1).\] Comparando con \((x - h)^2 = 4p(y - k)\): \[V(2, 1), \quad 4p = 6 \Longrightarrow p = \frac{3}{2}.\] \[F\left(2, 1 + \frac{3}{2}\right) = F\left(2, \frac{5}{2}\right), \qquad \text{directriz: } y = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}, \qquad |LR| = 6.\]

Ejercicio 34.7

Transforma a la forma ordinaria y determina sus elementos:

\[y^2+8y+12x+4=0.\]

Ver solución

Agrupamos y completamos TCP: \[y^2 + 8y = -12x - 4 \Longrightarrow y^2 + 8y + 16 = -12x - 4 + 16.\] \[(y + 4)^2 = -12x + 12 \Longrightarrow (y + 4)^2 = -12(x - 1).\] Comparando con \((y - k)^2 = 4p(x - h)\): \[V(1, -4), \quad 4p = -12 \Longrightarrow p = -3.\] \[F(1 - 3, -4) = F(-2, -4), \qquad \text{directriz: } x = 1 - (-3) = 4, \qquad |LR| = 12.\]