Guía de Matemáticas Parte VI: Geometría analítica

Capítulo 35

Elipse

UNAM IPN

La elipse es una sección cónica definida mediante dos focos. Para resolver ejercicios es importante identificar el centro, la orientación del eje mayor y los valores de \(a\), \(b\) y \(c\).

En este capítulo estudiarás sus formas ordinarias, sus elementos principales y la transformación de la forma general mediante el método de completar cuadrados.

35.1 Definición y elementos#

Definición

La elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Si \(P\) pertenece a la elipse, entonces:

\[d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a.\]

Los elementos principales de una elipse son:

  • Centro \(C\): punto medio entre los focos.
  • Vértices \(V_1\) y \(V_2\): extremos del eje mayor.
  • Co-vértices \(B_1\) y \(B_2\): extremos del eje menor.
  • Focos \(F_1\) y \(F_2\): puntos fijos de la elipse.
  • Semieje mayor \(a\): distancia del centro a un vértice.
  • Semieje menor \(b\): distancia del centro a un co-vértice.
  • Semidistancia focal \(c\): distancia del centro a un foco.
  • Excentricidad \(e\): medida de qué tan alargada es la elipse.

Las longitudes de los ejes son:

\[\text{eje mayor}=2a\]

y:

\[\text{eje menor}=2b.\]
Teorema Relación fundamental

En toda elipse se cumple:

\[c^2=a^2-b^2\]

o, equivalentemente:

\[a^2=b^2+c^2.\]

Además:

\[a>b>0\]

y:

\[0<c<a.\]
Teorema Excentricidad

La excentricidad de una elipse es:

\[e=\frac{c}{a}.\]

En toda elipse:

\[0<e<1.\]
Nota

Una elipse con excentricidad cercana a cero es casi circular.

Una elipse con excentricidad cercana a uno es más alargada.

Teorema Lado recto

La longitud de cada lado recto de una elipse es:

\[|LR|=\frac{2b^2}{a}.\]

Los elementos principales de una elipse horizontal se muestran en la siguiente figura:

Figura 35.1

35.2 Formas ordinarias#

35.2.1 Elipse horizontal#

\[\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\]

con:

\[a^2>b^2.\]

Sus elementos son:

\[C(h,k),\]
\[V_1(h+a,k), \qquad V_2(h-a,k),\]
\[B_1(h,k+b), \qquad B_2(h,k-b),\]
\[F_1(h+c,k), \qquad F_2(h-c,k).\]

35.2.2 Elipse vertical#

\[\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1\]

con:

\[a^2>b^2.\]

Sus elementos son:

\[C(h,k),\]
\[V_1(h,k+a), \qquad V_2(h,k-a),\]
\[B_1(h+b,k), \qquad B_2(h-b,k),\]
\[F_1(h,k+c), \qquad F_2(h,k-c).\]
Teorema Regla rápida

El denominador mayor siempre es:

\[a^2.\]

Su posición determina la orientación de la elipse:

  • si \(a^2\) está debajo del término con \(x\), la elipse es horizontal;
  • si \(a^2\) está debajo del término con \(y\), la elipse es vertical.
Advertencia

No se determina la orientación observando cuál variable aparece primero.

La orientación depende exclusivamente de la ubicación del denominador mayor.

Figura 35.2

35.3 Centro en el origen#

Cuando:

\[C(0,0),\]

las ecuaciones se simplifican.

35.3.1 Horizontal#

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

35.3.2 Vertical#

\[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\]
Ejemplo 35.1

Encuentra la ecuación de la elipse con vértices:

\[V_1(5,0), \qquad V_2(-5,0),\]

y focos:

\[F_1(3,0), \qquad F_2(-3,0).\]
Ver solución

La elipse es horizontal y su centro es:

\[C(0,0).\]

De los vértices:

\[a=5.\]

De los focos:

\[c=3.\]

Aplicamos:

\[b^2=a^2-c^2.\]

Entonces:

\[b^2=25-9=16.\]

Por tanto:

\[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 .\]
Figura 35.3
Ejemplo 35.2

Encuentra los elementos principales de:

\[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1.\]
Ver solución

El denominador mayor está debajo de \(x\), por lo que la elipse es horizontal.

\[a^2=25, \qquad a=5,\]
\[b^2=9, \qquad b=3.\]

Calculamos:

\[c^2=a^2-b^2=25-9=16.\]

Por tanto:

\[c=4.\]

El centro es:

\[C(0,0).\]

Los vértices son:

\[V_1(5,0), \qquad V_2(-5,0).\]

Los co-vértices son:

\[B_1(0,3), \qquad B_2(0,-3).\]

Los focos son:

\[F_1(4,0), \qquad F_2(-4,0).\]

La excentricidad es:

\[e=\frac{c}{a} = \frac{4}{5}.\]

La longitud del lado recto es:

\[|LR| = \frac{2b^2}{a} = \frac{18}{5}.\]
Ejemplo 35.3

Encuentra la ecuación de la elipse con vértices:

\[V_1(0,4), \qquad V_2(0,-4),\]

y focos:

\[F_1(0,2), \qquad F_2(0,-2).\]
Ver solución

La elipse es vertical.

\[a=4 \qquad\text{y}\qquad c=2.\]

Calculamos:

\[b^2=a^2-c^2.\]
\[b^2=16-4=12.\]

Por tanto:

\[\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{16} = 1 .\]

35.4 Centro fuera del origen#

Ejemplo 35.4

Encuentra los elementos de:

\[\frac{(x+1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1.\]
Ver solución

El centro es:

\[C(-1,3).\]

El denominador mayor está debajo del término con \(x\), por lo que la elipse es horizontal.

\[a=5, \qquad b=3.\]

Calculamos:

\[c^2=a^2-b^2=25-9=16.\]
\[c=4.\]

Los vértices son:

\[V_1(4,3), \qquad V_2(-6,3).\]

Los co-vértices son:

\[B_1(-1,6), \qquad B_2(-1,0).\]

Los focos son:

\[F_1(3,3), \qquad F_2(-5,3).\]

La excentricidad es:

\[e=\frac{4}{5}.\]
Figura 35.4

35.5 De la forma general a la ordinaria#

Una elipse no rotada puede aparecer en la forma:

\[Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]

Los coeficientes \(A\) y \(C\) deben tener el mismo signo.

Para obtener la forma ordinaria se completan cuadrados.

Ejemplo 35.5

Transforma:

\[4x^2+9y^2-16x+18y-11=0\]

a la forma ordinaria.

Ver solución

Agrupamos:

\[(4x^2-16x)+(9y^2+18y)=11.\]

Factorizamos:

\[4(x^2-4x)+9(y^2+2y)=11.\]

Completamos cuadrados:

\[4(x^2-4x+4) + 9(y^2+2y+1) = 11+16+9.\]

Factorizamos:

\[4(x-2)^2+9(y+1)^2=36.\]

Dividimos entre \(36\):

\[\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1 .\]

Por tanto:

\[C(2,-1),\]
\[a=3, \qquad b=2,\]
\[c^2=9-4=5, \qquad c=\sqrt{5}.\]

La elipse es horizontal.

Los vértices son:

\[V_1(5,-1), \qquad V_2(-1,-1).\]

Los focos son:

\[F_1(2+\sqrt{5},-1),\]
\[F_2(2-\sqrt{5},-1).\]
Figura 35.5

35.6 Procedimiento rápido#

  1. Escribe la ecuación en forma ordinaria.
  2. Identifica el centro: \[C(h,k).\]
  3. Localiza el denominador mayor: \[a^2.\]
  4. Determina la orientación.
  5. Calcula: \[a=\sqrt{a^2} \qquad\text{y}\qquad b=\sqrt{b^2}.\]
  6. Calcula: \[c=\sqrt{a^2-b^2}.\]
  7. Encuentra vértices, co-vértices y focos.
  8. Calcula, si se solicita: \[e=\frac{c}{a}\] y: \[|LR|=\frac{2b^2}{a}.\]

35.7 Resumen#

\[c^2=a^2-b^2\]
\[e=\frac{c}{a}\]
\[|LR|=\frac{2b^2}{a}\]
\[\begin{aligned} \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} &=1 &&\text{horizontal},\\[4pt] \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} &=1 &&\text{vertical}. \end{aligned}\]

35.8 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

  • El denominador mayor es \(a^2\).
  • El eje mayor se encuentra debajo de la variable cuyo denominador es \(a^2\).
  • Siempre: \[a>b.\]
  • La relación correcta es: \[c^2=a^2-b^2.\]
  • El centro se obtiene cambiando los signos dentro de los paréntesis.
  • Los focos siempre pertenecen al eje mayor.
  • Los co-vértices pertenecen al eje menor.
  • No debe confundirse la distancia focal \(2c\) con la semidistancia focal \(c\).

35.9 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 35.1

Encuentra la ecuación de la elipse con vértices:

\[V_1(4,0), \qquad V_2(-4,0),\]

y focos:

\[F_1(2,0), \qquad F_2(-2,0).\]
Ver solución

Elipse horizontal con centro en \(C(0,0)\), \(a = 4\) y \(c = 2\): \[b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 4 = 12.\] Ecuación: \[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1.\]

Ejercicio 35.2

Encuentra la ecuación de la elipse con vértices:

\[V_1(0,5), \qquad V_2(0,-5),\]

y focos:

\[F_1(0,3), \qquad F_2(0,-3).\]
Ver solución

Elipse vertical con centro en \(C(0,0)\), \(a = 5\) y \(c = 3\): \[b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16.\] Ecuación: \[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1.\]

Ejercicio 35.3

Encuentra el centro, los vértices, los co-vértices, los focos y la excentricidad de:

\[\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1.\]
Ver solución

Elipse horizontal con \(C(0,0)\), \(a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\); \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\). \[c^2 = 36 - 16 = 20 \Longrightarrow c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.\] Vértices: \(V_1(6, 0)\), \(V_2(-6, 0)\). Co-vértices: \(B_1(0, 4)\), \(B_2(0, -4)\). Focos: \(F_1(2\sqrt{5}, 0)\), \(F_2(-2\sqrt{5}, 0)\). Excentricidad: \[e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}.\]

Ejercicio 35.4

Encuentra los elementos principales de:

\[\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{16} = 1.\]
Ver solución

Elipse horizontal con centro en \(C(2, -1)\). \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\), \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\). \[c^2 = 25 - 16 = 9 \Longrightarrow c = 3.\] Vértices: \(V_1(7, -1)\), \(V_2(-3, -1)\). Co-vértices: \(B_1(2, 3)\), \(B_2(2, -5)\). Focos: \(F_1(5, -1)\), \(F_2(-1, -1)\). Excentricidad \(e = 3/5\).

Ejercicio 35.5

Encuentra los elementos principales de:

\[\frac{(x+3)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1.\]
Ver solución

Elipse vertical con centro en \(C(-3, 2)\). \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\), \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\). \[c^2 = 25 - 9 = 16 \Longrightarrow c = 4.\] Vértices: \(V_1(-3, 7)\), \(V_2(-3, -3)\). Co-vértices: \(B_1(0, 2)\), \(B_2(-6, 2)\). Focos: \(F_1(-3, 6)\), \(F_2(-3, -2)\). Excentricidad \(e = 4/5\).

Ejercicio 35.6

Transforma a la forma ordinaria y determina el centro, los vértices y los focos:

\[9x^2+4y^2-18x+16y-11=0.\]
Ver solución

Agrupamos y completamos TCP: \[9(x^2 - 2x) + 4(y^2 + 4y) = 11.\] \[9(x^2 - 2x + 1) + 4(y^2 + 4y + 4) = 11 + 9 + 16 = 36.\] \[9(x - 1)^2 + 4(y + 2)^2 = 36.\] \[\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{9} = 1.\] Es una elipse vertical con centro \(C(1, -2)\), \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}\). Vértices: \((1, 1)\), \((1, -5)\). Focos: \((1, -2 + \sqrt{5})\), \((1, -2 - \sqrt{5})\).

Ejercicio 35.7

Determina si la ecuación representa una elipse real. Si es así, encuentra su centro y sus semiejes:

\[x^2+4y^2+2x-8y+1=0.\]
Ver solución

Agrupamos y completamos TCP: \[(x^2 + 2x) + 4(y^2 - 2y) = -1.\] \[(x^2 + 2x + 1) + 4(y^2 - 2y + 1) = -1 + 1 + 4 = 4.\] \[(x + 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 4.\] \[\frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{1} = 1.\] Sí es una elipse real, de tipo horizontal, con centro en \(C(-1, 1)\). Semiejes: \(a = 2\), \(b = 1\).