Capítulo 36

Hipérbola

UNAM IPN

La hipérbola es una sección cónica formada por dos ramas. Para resolver ejercicios es importante identificar el centro, la orientación del eje transverso y los valores de \(a\), \(b\) y \(c\).

También deben determinarse los vértices, los focos y las asíntotas.

36.1 Definición y elementos#

Definición

La hipérbola es el conjunto de puntos del plano para los que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Si \(P\) pertenece a la hipérbola, entonces:

\[\left| d(P,F_1)-d(P,F_2) \right| = 2a.\]

Los elementos principales de una hipérbola son:

Centro \(C\): punto medio entre los focos y entre los vértices.
Vértices \(V_1\) y \(V_2\): puntos de las ramas más cercanos al centro.
Focos \(F_1\) y \(F_2\): puntos fijos utilizados en la definición de la hipérbola.
Semieje transverso \(a\): distancia del centro a cualquiera de los vértices.
Semieje conjugado \(b\): medida utilizada para construir el rectángulo auxiliar y las asíntotas.
Semidistancia focal \(c\): distancia del centro a cualquiera de los focos.
Asíntotas: rectas a las que se aproximan las ramas de la hipérbola.
Excentricidad \(e\): medida de la abertura de la hipérbola.
Lado recto: cuerda perpendicular al eje focal que pasa por uno de los focos.

Las longitudes principales son:

\[\text{eje transverso}=2a,\]

\[\text{eje conjugado}=2b,\]

\[\text{distancia focal}=2c.\]

Teorema Relación fundamental

En toda hipérbola se cumple:

\[c^2=a^2+b^2.\]

Por tanto:

\[c=\sqrt{a^2+b^2}.\]

Además:

\[c>a.\]

Teorema Excentricidad

La excentricidad de una hipérbola es:

\[e=\frac{c}{a}.\]

En toda hipérbola:

\[e>1.\]

Teorema Lado recto

La longitud de cada lado recto es:

\[|LR|=\frac{2b^2}{a}.\]

Los elementos principales de una hipérbola horizontal se muestran en la siguiente figura:

36.2 Formas ordinarias#

36.2.1 Hipérbola horizontal#

\[\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\]

Sus elementos son:

\[C(h,k),\]

\[V_1(h+a,k), \qquad V_2(h-a,k),\]

\[F_1(h+c,k), \qquad F_2(h-c,k).\]

Sus asíntotas son:

\[y-k = \pm\frac{b}{a}(x-h) .\]

Las ramas abren hacia la derecha y hacia la izquierda.

36.2.2 Hipérbola vertical#

\[\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1\]

Sus elementos son:

\[C(h,k),\]

\[V_1(h,k+a), \qquad V_2(h,k-a),\]

\[F_1(h,k+c), \qquad F_2(h,k-c).\]

Sus asíntotas son:

\[y-k = \pm\frac{a}{b}(x-h) .\]

Las ramas abren hacia arriba y hacia abajo.

Teorema Regla rápida

La orientación de una hipérbola se determina observando el término positivo:

si el término positivo contiene \(x\), la hipérbola es horizontal;
si el término positivo contiene \(y\), la hipérbola es vertical.

Advertencia

En una hipérbola, el denominador \(a^2\) se encuentra debajo del término positivo.

No es necesario que \(a^2\) sea el denominador mayor.

36.3 Centro en el origen#

Cuando:

\[C(0,0),\]

las ecuaciones se simplifican.

36.3.1 Horizontal#

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]

Las asíntotas son:

\[y=\pm\frac{b}{a}x .\]

36.3.2 Vertical#

\[\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\]

Las asíntotas son:

\[y=\pm\frac{a}{b}x .\]

Ejemplo 36.1

Encuentra la ecuación de la hipérbola con vértices:

\[V_1(3,0), \qquad V_2(-3,0),\]

y focos:

\[F_1(5,0), \qquad F_2(-5,0).\]

Ver solución

La hipérbola es horizontal y su centro es:

\[C(0,0).\]

De los vértices:

\[a=3.\]

De los focos:

\[c=5.\]

Aplicamos:

\[b^2=c^2-a^2.\]

Entonces:

\[b^2=25-9=16.\]

Por tanto:

\[\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 .\]

Las asíntotas son:

\[y=\pm\frac{4}{3}x .\]

La excentricidad es:

\[e=\frac{c}{a} = \frac{5}{3}.\]

Ejemplo 36.2

Encuentra los elementos principales de:

\[\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1.\]

Ver solución

El término positivo contiene \(y\), por lo que la hipérbola es vertical.

\[a^2=9, \qquad a=3,\]

\[b^2=16, \qquad b=4.\]

Calculamos:

\[c^2=a^2+b^2=9+16=25.\]

\[c=5.\]

El centro es:

\[C(0,0).\]

Los vértices son:

\[V_1(0,3), \qquad V_2(0,-3).\]

Los focos son:

\[F_1(0,5), \qquad F_2(0,-5).\]

Las asíntotas son:

\[y=\pm\frac{3}{4}x .\]

La excentricidad es:

\[e=\frac{5}{3}.\]

La longitud del lado recto es:

\[|LR| = \frac{2b^2}{a} = \frac{32}{3}.\]

36.4 Centro fuera del origen#

Ejemplo 36.3

Encuentra los elementos principales de:

\[\frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1.\]

Ver solución

El centro es:

\[C(1,-2).\]

El término positivo contiene \(x\), por lo que la hipérbola es horizontal.

\[a=3, \qquad b=4.\]

Calculamos:

\[c^2=a^2+b^2=9+16=25.\]

\[c=5.\]

Los vértices son:

\[V_1(4,-2), \qquad V_2(-2,-2).\]

Los focos son:

\[F_1(6,-2), \qquad F_2(-4,-2).\]

Las asíntotas son:

\[y+2 = \pm\frac{4}{3}(x-1).\]

La excentricidad es:

\[e=\frac{5}{3}.\]

36.5 Rectángulo auxiliar y asíntotas#

Las asíntotas pueden construirse mediante un rectángulo centrado en:

\[C(h,k).\]

En una hipérbola horizontal, el rectángulo tiene semibase \(a\) y semialtura \(b\).
En una hipérbola vertical, el rectángulo tiene semibase \(b\) y semialtura \(a\).

Las diagonales del rectángulo son las asíntotas.

Nota

Las ramas de la hipérbola se aproximan a las asíntotas, pero las asíntotas no forman parte de la hipérbola.

36.6 De la forma general a la ordinaria#

Una hipérbola no rotada puede aparecer en la forma:

\[Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0.\]

Los coeficientes \(A\) y \(C\) tienen signos opuestos.

Para obtener la forma ordinaria se completan cuadrados.

Ejemplo 36.4

Transforma:

\[9x^2-4y^2-18x-16y-43=0\]

a la forma ordinaria.

Ver solución

Agrupamos:

\[(9x^2-18x)-(4y^2+16y)=43.\]

Factorizamos:

\[9(x^2-2x)-4(y^2+4y)=43.\]

Completamos cuadrados:

\[9(x^2-2x+1) - 4(y^2+4y+4) = 43+9-16.\]

Factorizamos:

\[9(x-1)^2-4(y+2)^2=36.\]

Dividimos entre \(36\):

\[\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{9} = 1 .\]

Por tanto:

\[C(1,-2),\]

\[a=2, \qquad b=3.\]

Calculamos:

\[c^2=a^2+b^2=4+9=13.\]

\[c=\sqrt{13}.\]

La hipérbola es horizontal.

Los vértices son:

\[V_1(3,-2), \qquad V_2(-1,-2).\]

Los focos son:

\[F_1(1+\sqrt{13},-2),\]

\[F_2(1-\sqrt{13},-2).\]

Las asíntotas son:

\[y+2 = \pm\frac{3}{2}(x-1) .\]

36.7 Procedimiento rápido#

Escribe la ecuación en forma ordinaria.
Identifica el centro: \[C(h,k).\]
Localiza el término positivo.
Determina la orientación.
Identifica: \[a^2 \qquad\text{y}\qquad b^2.\]
Calcula: \[c=\sqrt{a^2+b^2}.\]
Encuentra los vértices y los focos.
Obtén las asíntotas.
Calcula, si se solicita: \[e=\frac{c}{a}\] y: \[|LR|=\frac{2b^2}{a}.\]

36.8 Resumen#

\[c^2=a^2+b^2\]

\[e=\frac{c}{a}>1\]

\[|LR|=\frac{2b^2}{a}\]

\[\begin{aligned} \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} &=1 &&\text{horizontal},\\[6pt] \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} &=1 &&\text{vertical}. \end{aligned}\]

Asíntotas:

\[y-k = \pm\frac{b}{a}(x-h)\]

para la hipérbola horizontal, y:

\[y-k = \pm\frac{a}{b}(x-h)\]

para la hipérbola vertical.

36.9 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

El término positivo determina la orientación.
El denominador del término positivo es \(a^2\).
En una hipérbola no es necesario que: \[a>b.\]
La relación correcta es: \[c^2=a^2+b^2.\]
En una hipérbola: \[c>a.\]
Los focos pertenecen al eje transverso.
Las asíntotas pasan por el centro.
La ecuación debe ser igual a \(1\) antes de identificar correctamente \(a^2\) y \(b^2\).
Los coeficientes de \(x^2\) y \(y^2\) tienen signos opuestos.
La excentricidad siempre cumple: \[e>1.\]

36.10 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 36.1

Encuentra la ecuación de la hipérbola con vértices:

\[V_1(4,0), \qquad V_2(-4,0),\]

y focos:

\[F_1(6,0), \qquad F_2(-6,0).\]

Determina también sus asíntotas.

Ver solución

Hipérbola horizontal con centro \(C(0,0)\), \(a = 4\) y \(c = 6\): \[b^2 = c^2 - a^2 = 36 - 16 = 20.\] Ecuación: \[\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1.\] Asíntotas: \(y = \pm\frac{\sqrt{20}}{4}x = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\).

Ejercicio 36.2

Encuentra la ecuación de la hipérbola con vértices:

\[V_1(0,3), \qquad V_2(0,-3),\]

y focos:

\[F_1(0,5), \qquad F_2(0,-5).\]

Determina también sus asíntotas.

Ver solución

Hipérbola vertical con centro \(C(0,0)\), \(a = 3\) y \(c = 5\): \[b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16.\] Ecuación: \[\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1.\] Asíntotas: \(y = \pm\frac{3}{4}x\).

Ejercicio 36.3

Encuentra el centro, los vértices, los focos, las asíntotas y la excentricidad de:

\[\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.\]

Ver solución

Hipérbola horizontal, centro \(C(0,0)\). \(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\); \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\). \[c^2 = 16 + 9 = 25 \Longrightarrow c = 5.\] Vértices: \(V_1(4, 0)\), \(V_2(-4, 0)\). Focos: \(F_1(5, 0)\), \(F_2(-5, 0)\). Asíntotas: \(y = \pm\frac{3}{4}x\). Excentricidad \(e = \frac{5}{4}\).

Ejercicio 36.4

Encuentra el centro, los vértices, los focos y las asíntotas de:

\[\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1.\]

Ver solución

Hipérbola vertical, centro \(C(0,0)\). \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\); \(b^2 = 144 \Rightarrow b = 12\). \[c^2 = 25 + 144 = 169 \Longrightarrow c = 13.\] Vértices: \(V_1(0, 5)\), \(V_2(0, -5)\). Focos: \(F_1(0, 13)\), \(F_2(0, -13)\). Asíntotas: \(y = \pm\frac{5}{12}x\).

Ejercicio 36.5

Encuentra los elementos principales de:

\[\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1.\]

Ver solución

Hipérbola horizontal con centro en \(C(-2, 1)\). \(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\), \(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\). \[c^2 = 9 + 16 = 25 \Longrightarrow c = 5.\] Vértices: \(V_1(1, 1)\), \(V_2(-5, 1)\). Focos: \(F_1(3, 1)\), \(F_2(-7, 1)\). Asíntotas: \(y - 1 = \pm\frac{4}{3}(x + 2)\).

Ejercicio 36.6

Encuentra los elementos principales de:

\[\frac{(y+3)^2}{16} - \frac{(x-1)^2}{9} = 1.\]

Ver solución

Hipérbola vertical con centro en \(C(1, -3)\). \(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\), \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\). \[c^2 = 16 + 9 = 25 \Longrightarrow c = 5.\] Vértices: \(V_1(1, 1)\), \(V_2(1, -7)\). Focos: \(F_1(1, 2)\), \(F_2(1, -8)\). Asíntotas: \(y + 3 = \pm\frac{4}{3}(x - 1)\).

Ejercicio 36.7

Transforma a la forma ordinaria y determina el centro, los vértices, los focos y las asíntotas:

\[x^2-4y^2+4x+8y-4=0.\]

Ver solución

Agrupamos y completamos TCP: \[(x^2 + 4x) - 4(y^2 - 2y) = 4.\] \[(x^2 + 4x + 4) - 4(y^2 - 2y + 1) = 4 + 4 - 4 = 4.\] \[(x + 2)^2 - 4(y - 1)^2 = 4.\] \[\frac{(x + 2)^2}{4} - \frac{(y - 1)^2}{1} = 1.\] Es una hipérbola horizontal con centro en \(C(-2, 1)\), \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\). Vértices: \(V_1(0, 1)\), \(V_2(-4, 1)\). Focos: \(F_1(-2 + \sqrt{5}, 1)\), \(F_2(-2 - \sqrt{5}, 1)\). Asíntotas: \(y - 1 = \pm\frac{1}{2}(x + 2)\).