Guía de Matemáticas Parte VII: Cálculo diferencial

Capítulo 39

Límites

UNAM IPN

El límite describe el comportamiento de una función cuando la variable se aproxima a un valor determinado.

Para resolver ejercicios es importante reconocer cuándo puede utilizarse la sustitución directa y cuándo se necesita simplificar la expresión mediante factorización o racionalización.

39.1 Concepto de límite#

Definición

Decimos que el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\) es \(L\) si los valores de la función se aproximan a \(L\) cuando \(x\) se acerca a \(x_0\).

Se escribe:

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=L\]
Nota

El límite estudia los valores de la función cerca de \(x_0\). No es necesario que la función esté definida precisamente en \(x_0\).

Ejemplo 39.1

Calcula:

\[\lim_{x\to3}(x^2-4).\]
Ver solución

La función es un polinomio, por lo que podemos sustituir directamente:

\[\lim_{x\to3}(x^2-4) = 3^2-4 = 9-4.\]

Por tanto:

\[\lim_{x\to3}(x^2-4)=5\]

Los valores de la función se aproximan a \(5\) desde ambos lados:

\[\begin{array}{c|ccc|ccc} x & 2.9 & 2.99 & 2.999 & 3.001 & 3.01 & 3.1 \\ \hline x^2-4 & 4.41 & 4.9401 & 4.994001 & 5.006001 & 5.0601 & 5.61 \end{array}\]

39.2 Límite y valor de la función#

El límite y el valor de la función son conceptos diferentes.

Puede ocurrir que:

\[\lim_{x\to x_0}f(x)\]

exista, aunque:

\[f(x_0)\]

no esté definida.

Figura 39.1

En la figura:

\[\lim_{x\to1}f(x)=2,\]

pero:

\[f(1)=4.\]

39.3 Límites laterales#

Definición

El límite por la izquierda considera valores menores que \(x_0\):

\[\lim_{x\to x_0^-}f(x)\]

El límite por la derecha considera valores mayores que \(x_0\):

\[\lim_{x\to x_0^+}f(x)\]
Teorema Existencia del límite

El límite:

\[\lim_{x\to x_0}f(x)\]

existe si y solo si los límites laterales existen y son iguales:

\[\lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x)\]
Ejemplo 39.2

Analiza el límite en \(x=2\) de:

\[f(x) = \begin{cases} 2x+1, & x<2,\\[2pt] x^2-1, & x\geq2. \end{cases}\]
Ver solución

Por la izquierda se utiliza:

\[f(x)=2x+1.\]

Entonces:

\[\lim_{x\to2^-}f(x) = 2(2)+1 = 5.\]

Por la derecha se utiliza:

\[f(x)=x^2-1.\]

Entonces:

\[\lim_{x\to2^+}f(x) = 2^2-1 = 3.\]

Como:

\[5\neq3,\]

el límite no existe:

\[\lim_{x\to2}f(x) \text{ no existe}\]
Figura 39.2

39.4 Álgebra de límites#

Si:

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=L_1\]

y:

\[\lim_{x\to x_0}g(x)=L_2,\]

entonces:

\[\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] = L_1+L_2,\]
\[\lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)] = L_1-L_2,\]
\[\lim_{x\to x_0}[f(x)g(x)] = L_1L_2,\]
\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}, \qquad L_2\neq0,\]
\[\lim_{x\to x_0}c\,f(x) = cL_1,\]
\[\lim_{x\to x_0}[f(x)]^n = L_1^n.\]

39.5 Sustitución directa#

Teorema Límite de un polinomio

Si \(P(x)\) es un polinomio, entonces:

\[\lim_{x\to x_0}P(x)=P(x_0)\]

Una función racional también puede evaluarse por sustitución directa si el denominador no se hace cero.

Ejemplo 39.3

Calcula:

\[\lim_{x\to-1} \left( 2x^3-3x^2+2x-4 \right).\]
Ver solución

Sustituimos:

\[2(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)-4.\]
\[=-2-3-2-4.\]

Por tanto:

\[-11\]
Ejemplo 39.4

Calcula:

\[\lim_{x\to-2} \frac{3x^2+1}{4x-1}.\]
Ver solución

Sustituimos:

\[\frac{3(-2)^2+1}{4(-2)-1} = \frac{12+1}{-8-1}.\]

Por tanto:

\[-\frac{13}{9}\]

39.6 Procedimiento básico#

Para calcular un límite:

  1. Sustituye directamente el valor de \(x\).
  2. Si obtienes un número real, ese es el límite.
  3. Si aparece: \[\frac{0}{0},\] simplifica mediante factorización o racionalización.
  4. Si el denominador tiende a cero y el numerador no, analiza los límites laterales.
  5. Si: \[x\to\infty,\] compara los grados.
Figura 39.3

39.7 Indeterminación \(\frac{0}{0}\)#

Definición

La expresión:

\[\frac{0}{0}\]

es una forma indeterminada. No significa que el límite sea cero ni que no exista.

Indica que la expresión debe simplificarse.

39.7.1 Factorización#

Ejemplo 39.5

Calcula:

\[\lim_{x\to2} \frac{x^2-4}{x^2-5x+6}.\]
Ver solución

La sustitución directa produce:

\[\frac{0}{0}.\]

Factorizamos:

\[x^2-4 = (x-2)(x+2),\]
\[x^2-5x+6 = (x-2)(x-3).\]

Entonces:

\[\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2)(x+2)} {(x-2)(x-3)}.\]

Para:

\[x\neq2,\]

se simplifica:

\[\frac{x+2}{x-3}.\]

Ahora sustituimos:

\[\lim_{x\to2} \frac{x+2}{x-3} = \frac{4}{-1}.\]

Por tanto:

\[-4\]
Ejemplo 39.6

Calcula:

\[\lim_{x\to3} \frac{x-3}{x^2-9}.\]
Ver solución

Factorizamos:

\[x^2-9 = (x-3)(x+3).\]

Entonces:

\[\frac{x-3}{x^2-9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}.\]

Por tanto:

\[\lim_{x\to3}\frac{x-3}{x^2-9} = \frac{1}{6}\]
Advertencia

Al cancelar un factor común no se está evaluando la expresión en el punto problemático.

La simplificación es válida en los puntos cercanos, donde el factor no es cero. Esto es suficiente porque el límite estudia el comportamiento cercano al punto.

39.7.2 Racionalización#

Cuando aparece una diferencia de radicales, se utiliza el conjugado.

\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2.\]
Ejemplo 39.7

Calcula:

\[\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x}.\]
Ver solución

La sustitución directa produce:

\[\frac{0}{0}.\]

Multiplicamos por el conjugado:

\[\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2}}{x} \cdot \frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2}} {\sqrt{2+x}+\sqrt{2}}.\]

Simplificamos el numerador:

\[(2+x)-2=x.\]

Entonces:

\[\frac{x} {x\left(\sqrt{2+x}+\sqrt{2}\right)} = \frac{1} {\sqrt{2+x}+\sqrt{2}}.\]

Sustituimos:

\[\frac{1}{2\sqrt{2}}.\]

Racionalizamos:

\[\frac{\sqrt{2}}{4}\]

39.8 Límite trigonométrico fundamental#

Teorema Límite fundamental

Si el ángulo está expresado en radianes:

\[\lim_{x\to0}\frac{\sen x}{x}=1\]

También:

\[\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1\]
Ejemplo 39.8

Calcula:

\[\lim_{x\to0} \frac{\sen(5x)}{x}.\]
Ver solución

Multiplicamos y dividimos entre \(5\):

\[\frac{\sen(5x)}{x} = 5\frac{\sen(5x)}{5x}.\]

Cuando:

\[x\to0,\]

también:

\[5x\to0.\]

Por tanto:

\[\lim_{x\to0} 5\frac{\sen(5x)}{5x} = 5(1).\]

Así:

\[5\]
Advertencia

Los límites trigonométricos fundamentales requieren que los ángulos se midan en radianes.

39.9 Límites infinitos#

Si el denominador se aproxima a cero y el numerador no, la función puede crecer sin límite.

Ejemplo 39.9

Analiza:

\[\lim_{x\to2} \frac{1}{x-2}.\]
Ver solución

Por la izquierda:

\[x-2<0,\]

por lo que:

\[\lim_{x\to2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty.\]

Por la derecha:

\[x-2>0,\]

por lo que:

\[\lim_{x\to2^+} \frac{1}{x-2} = +\infty.\]

Como los límites laterales no coinciden:

\[\lim_{x\to2}\frac{1}{x-2} \text{ no existe}\]

La recta:

\[x=2\]

es una asíntota vertical.

Nota

Los símbolos:

\[+\infty \qquad\text{y}\qquad -\infty\]

describen un comportamiento no acotado. No representan números reales.

39.10 Límites al infinito#

Los límites al infinito describen el comportamiento de una función cuando:

\[x\to+\infty\]

o:

\[x\to-\infty.\]

Para:

\[n>0,\]

se cumple:

\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^n}=0\]

39.10.1 Funciones racionales#

Sea:

\[f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},\]

donde \(P\) y \(Q\) son polinomios.

Teorema Comparación de grados

Para calcular:

\[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)},\]

se comparan los grados.

  • Si: \[\deg P<\deg Q,\] entonces: \[\lim f(x)=0\]
  • Si: \[\deg P=\deg Q,\] el límite es el cociente de los coeficientes principales.
  • Si: \[\deg P>\deg Q,\] no hay un límite horizontal finito. Debe analizarse el signo y el comportamiento dominante.
\[\begin{array}{c|c} \text{Comparación de grados} & \text{Resultado} \\ \hline \deg P<\deg Q & 0 \\[3pt] \deg P=\deg Q & \dfrac{\text{coeficiente principal de }P} {\text{coeficiente principal de }Q} \\[9pt] \deg P>\deg Q & \text{comportamiento no acotado o asíntota polinómica} \end{array}\]
Ejemplo 39.10

Calcula:

\[\lim_{x\to\infty} \frac{6x^3-5x^2-3x+2} {4x^3-2x+6}.\]
Ver solución

Los polinomios tienen el mismo grado.

El límite es el cociente de los coeficientes principales:

\[\frac{6}{4} = \frac{3}{2}\]
Ejemplo 39.11

Calcula:

\[\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2-6x+7} {5x^3+2x-3}.\]
Ver solución

El grado del numerador es menor que el grado del denominador.

Por tanto:

\[0\]
Ejemplo 39.12

Calcula:

\[\lim_{x\to\infty} \frac{3x^4+2x}{x^2+1}.\]
Ver solución

Los términos dominantes son:

\[\frac{3x^4}{x^2} = 3x^2.\]

Cuando:

\[x\to\infty,\]

se tiene:

\[3x^2\to+\infty.\]

Por tanto:

\[+\infty\]

39.11 Continuidad#

Definición

Una función \(f\) es continua en \(x_0\) si se cumplen las tres condiciones:

  1. \(f(x_0)\) está definida;
  2. \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)\) existe;
  3. \[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).\]

En forma compacta:

\[\text{continuidad} = \text{valor definido} + \text{límite existente} + \text{igualdad}\]
Teorema Tipos de discontinuidad

Las discontinuidades principales son:

  • Evitable: el límite existe, pero la función no está definida en el punto o tiene un valor distinto.
  • De salto: los límites laterales existen, pero son diferentes.
  • Infinita: algún límite lateral es infinito y existe una asíntota vertical.
Figura 39.4
Ejemplo 39.13

Analiza la continuidad de:

\[f(x)=\frac{4}{x+3}\]

en:

\[x=-3.\]
Ver solución

La función no está definida en \(x=-3\):

\[f(-3) = \frac{4}{0}.\]

Además:

\[\lim_{x\to-3^-}\frac{4}{x+3} = -\infty,\]
\[\lim_{x\to-3^+}\frac{4}{x+3} = +\infty.\]

Por tanto, la función tiene una discontinuidad infinita y la recta:

\[x=-3\]

es una asíntota vertical.

Figura 39.5
Ejemplo 39.14

Analiza la continuidad de:

\[f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}\]

en:

\[x=2.\]
Ver solución

La función no está definida en \(x=2\).

Factorizamos:

\[f(x) = \frac{x-2}{(x-2)(x+2)}.\]

Para \(x\neq2\):

\[f(x)=\frac{1}{x+2}.\]

El límite es:

\[\lim_{x\to2}f(x) = \frac{1}{4}.\]

Como el límite existe, pero \(f(2)\) no está definida, la función presenta una discontinuidad evitable.

El hueco está en:

\[\left(2,\frac14\right)\]
Ejemplo 39.15

Determina si:

\[f(x)=x^2-2x+5\]

es continua en:

\[x=1.\]
Ver solución

Todo polinomio es continuo en todos los números reales.

Además:

\[f(1)=1-2+5=4,\]

y:

\[\lim_{x\to1}f(x)=4.\]

Como:

\[\lim_{x\to1}f(x)=f(1),\]

la función es continua en \(x=1\).

39.12 Resumen#

Existencia del límite:

\[\lim_{x\to x_0}f(x) \text{ existe} \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x)\]

Indeterminación principal:

\[\frac{0}{0} \Longrightarrow \text{factorizar o racionalizar}\]

Límite trigonométrico:

\[\lim_{x\to0}\frac{\sen x}{x}=1\]

Funciones racionales al infinito:

\[\begin{array}{c|c} \deg P<\deg Q & 0\\[2pt] \deg P=\deg Q & \dfrac{\text{coeficientes principales}}{}\\[7pt] \deg P>\deg Q & \text{analizar términos dominantes} \end{array}\]

Continuidad en \(x_0\):

\[f(x_0)\text{ existe}, \qquad \lim_{x\to x_0}f(x)\text{ existe}, \qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\]

39.13 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

  • El límite no depende necesariamente del valor de la función en el punto.
  • La forma: \[\frac{0}{0}\] no es una respuesta.
  • Solo pueden cancelarse factores, no términos separados por sumas o restas.
  • Los límites laterales deben coincidir para que exista el límite bilateral.
  • Una división entre cero no siempre produce el mismo infinito. Debe analizarse el signo por ambos lados.
  • Si el grado del numerador es mayor, no siempre basta escribir \(+\infty\). Debe analizarse el término dominante y el sentido del límite.
  • Para que una función sea continua, el límite debe coincidir con el valor de la función.
  • Los límites trigonométricos fundamentales utilizan radianes.

39.14 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 39.1

Calcula:

\[\lim_{x\to3} (2x^2-5x+1).\]
Ver solución

Sustituimos directamente: \[\lim_{x\to3}(2x^2-5x+1)=2(3)^2-5(3)+1=18-15+1=4.\]

Ejercicio 39.2

Calcula:

\[\lim_{x\to-1} \frac{x^2+3x-2}{2x+1}.\]
Ver solución

Sustituimos directamente: \[\lim_{x\to-1}\frac{x^2+3x-2}{2x+1}=\frac{(-1)^2+3(-1)-2}{2(-1)+1}=\frac{1-3-2}{-2+1}=\frac{-4}{-1}=4.\]

Ejercicio 39.3

Calcula:

\[\lim_{x\to1} \frac{x^2-1}{x-1}.\]
Ver solución

Al sustituir obtenemos \(\frac{0}{0}\). Factorizamos el numerador: \[x^2-1=(x-1)(x+1).\] Calculamos el límite: \[\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2.\]

Ejercicio 39.4

Calcula:

\[\lim_{x\to-2} \frac{x^2+5x+6}{x+2}.\]
Ver solución

Al sustituir obtenemos \(\frac{0}{0}\). Factorizamos el numerador: \[x^2+5x+6=(x+2)(x+3).\] Calculamos el límite: \[\lim_{x\to-2}\frac{(x+2)(x+3)}{x+2}=\lim_{x\to-2}(x+3)=1.\]

Ejercicio 39.5

Calcula:

\[\lim_{x\to4} \frac{x-4}{x^2-16}.\]
Ver solución

Al sustituir obtenemos \(\frac{0}{0}\). Factorizamos el denominador: \[x^2-16=(x-4)(x+4).\] Calculamos el límite: \[\lim_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(x+4)}=\lim_{x\to4}\frac{1}{x+4}=\frac{1}{8}.\]

Ejercicio 39.6

Calcula:

\[\lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}.\]
Ver solución

Al sustituir obtenemos \(\frac{0}{0}\). Racionalizamos multiplicando por el conjugado: \[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+9}+3}=\lim_{x\to0}\frac{x+9-9}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}.\] \[=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}.\]

Ejercicio 39.7

Calcula:

\[\lim_{x\to0} \frac{\sen(3x)}{x}.\]
Ver solución

Multiplicamos y dividimos por 3: \[\lim_{x\to0}\frac{\sen(3x)}{x}=\lim_{x\to0}3\frac{\sen(3x)}{3x}=3(1)=3.\]

Ejercicio 39.8

Calcula:

\[\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2-3x-2}{2x^2-6}.\]
Ver solución

El límite es al infinito y ambos polinomios son de grado 2. El límite es el cociente de los coeficientes principales: \[\frac{5}{2}.\]

Ejercicio 39.9

Calcula:

\[\lim_{x\to\infty} \frac{2x+3}{x^2+1}.\]
Ver solución

El grado del numerador es 1 y el del denominador es 2. Como el grado del denominador es mayor, el límite es: \[0.\]

Ejercicio 39.10

Calcula los límites laterales:

\[\lim_{x\to4^-}\frac{1}{x-4}\]

y:

\[\lim_{x\to4^+}\frac{1}{x-4}.\]
Ver solución

Analizamos los límites laterales. Por la izquierda, \(x-4<0\), por lo que: \[\lim_{x\to4^-}\frac{1}{x-4}=-\infty.\] Por la derecha, \(x-4>0\), por lo que: \[\lim_{x\to4^+}\frac{1}{x-4}=+\infty.\]

Ejercicio 39.11

Analiza la continuidad de:

\[f(x)=\frac{1}{x-4}\]

en:

\[x=4.\]
Ver solución

La función no está definida en \(x=4\). Además, los límites laterales son infinitos. Por tanto, presenta una discontinuidad infinita.

Ejercicio 39.12

Analiza la continuidad de:

\[f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}\]

en:

\[x=3.\]
Ver solución

La función no está definida en \(x=3\). Sin embargo, calculando el límite: \[\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6.\] Como el límite existe pero la función no está definida en el punto, presenta una discontinuidad evitable.