Guía de Matemáticas Parte VII: Cálculo diferencial

Capítulo 40

La derivada

UNAM IPN

La derivada mide la rapidez con la que cambia una función.

Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a una curva. En aplicaciones físicas puede representar velocidad, aceleración, crecimiento o cualquier razón de cambio instantánea.

40.1 Concepto de derivada#

Definición

La derivada de una función \(f\) se define mediante:

\[f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

si el límite existe.

También puede escribirse como:

\[f'(x), \qquad y', \qquad \frac{dy}{dx}, \qquad \frac{df}{dx}.\]
Definición

La derivada en un punto:

\[f'(x_0)\]

es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en:

\[P(x_0,f(x_0)).\]

La ecuación de la recta tangente es:

\[y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0).\]
Figura 40.1
Nota

La recta secante pasa por dos puntos de la curva. Cuando el segundo punto se aproxima al primero, la recta secante se aproxima a la recta tangente.

40.2 Interpretación del signo#

\[\begin{array}{c|c} \text{Signo de }f'(x) & \text{Comportamiento de }f\\ \hline f'(x)>0 & \text{creciente}\\ f'(x)<0 & \text{decreciente}\\ f'(x)=0 & \text{tangente horizontal} \end{array}\]
Figura 40.2

40.3 Reglas básicas de derivación#

40.3.1 Constante#

\[\frac{d}{dx}(c)=0\]

40.3.2 Potencia#

\[\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\]

40.3.3 Múltiplo constante#

\[\frac{d}{dx}[c\,f(x)] = c\,f'(x)\]

40.3.4 Suma y resta#

\[\frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)] = f'(x)\pm g'(x)\]
Ejemplo 40.1

Deriva:

\[f(x)=5x^4-3x^2+7x-2.\]
Ver solución

Derivamos término a término:

\[f'(x) = 5(4x^3)-3(2x)+7.\]

Por tanto:

\[f'(x)=20x^3-6x+7\]
Ejemplo 40.2

Deriva:

\[f(x)=4x^{-2}+3\sqrt{x}.\]
Ver solución

Escribimos:

\[\sqrt{x}=x^{1/2}.\]

Entonces:

\[f'(x) = 4(-2)x^{-3} + 3\left(\frac12\right)x^{-1/2}.\]

Por tanto:

\[f'(x) = -\frac{8}{x^3} + \frac{3}{2\sqrt{x}}\]

40.4 Producto y cociente#

40.4.1 Regla del producto#

\[(fg)' = f'g+fg'\]

Una forma útil de recordarla es:

\[\text{derivada del primero por el segundo} + \text{primero por la derivada del segundo}.\]
Ejemplo 40.3

Deriva:

\[f(x)=(3x^2+1)(x-2).\]
Ver solución

Definimos:

\[u=3x^2+1, \qquad v=x-2.\]

Entonces:

\[u'=6x, \qquad v'=1.\]

Aplicamos la regla del producto:

\[f'(x) = 6x(x-2) + (3x^2+1)(1).\]

Simplificamos:

\[f'(x)=9x^2-12x+1\]

40.4.2 Regla del cociente#

\[\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g-fg'}{g^2}\]

con:

\[g(x)\neq0.\]
Ejemplo 40.4

Deriva:

\[f(x)=\frac{2x+1}{x-3}.\]
Ver solución
\[u=2x+1, \qquad v=x-3,\]
\[u'=2, \qquad v'=1.\]

Entonces:

\[f'(x) = \frac{2(x-3)-(2x+1)(1)} {(x-3)^2}.\]

Simplificamos:

\[f'(x) = -\frac{7}{(x-3)^2}\]
Advertencia

La derivada de un producto no es:

\[f'g'.\]

La derivada de un cociente tampoco es:

\[\frac{f'}{g'}.\]

Deben utilizarse las reglas completas.

40.5 Regla de la cadena#

Teorema Regla de la cadena

Si una función está compuesta dentro de otra:

\[y=f(g(x)),\]

entonces:

\[\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\,g'(x)\]

De manera práctica:

\[\text{derivada exterior} \times \text{derivada interior}\]
Figura 40.3
Ejemplo 40.5

Deriva:

\[f(x)=(2x^3+5)^4.\]
Ver solución

La función exterior es la cuarta potencia:

\[4(2x^3+5)^3.\]

La derivada interior es:

\[6x^2.\]

Multiplicamos:

\[f'(x) = 24x^2(2x^3+5)^3\]
Ejemplo 40.6

Deriva:

\[f(x)=\sqrt{3x+1}.\]
Ver solución

Escribimos:

\[f(x)=(3x+1)^{1/2}.\]

Aplicamos la regla de la cadena:

\[f'(x) = \frac12(3x+1)^{-1/2}(3).\]

Por tanto:

\[f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}\]

40.6 Derivadas trigonométricas#

Los ángulos deben estar expresados en radianes.

\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}(\sen x) &= \cos x,\\[4pt] \frac{d}{dx}(\cos x) &= -\sen x,\\[4pt] \frac{d}{dx}(\tan x) &= \sec^2x,\\[4pt] \frac{d}{dx}(\cot x) &= -\csc^2x,\\[4pt] \frac{d}{dx}(\sec x) &= \sec x\tan x,\\[4pt] \frac{d}{dx}(\csc x) &= -\csc x\cot x. \end{aligned}\]

Con regla de la cadena:

\[\frac{d}{dx}[\sen u] = \cos u\cdot u'\]
\[\frac{d}{dx}[\cos u] = -\sen u\cdot u'\]
\[\frac{d}{dx}[\tan u] = \sec^2u\cdot u'\]
Ejemplo 40.7

Deriva:

\[f(x)=3\sen x+2\cos x.\]
Ver solución
\[f'(x) = 3\cos x-2\sen x\]
Ejemplo 40.8

Deriva:

\[f(x)=\sen(3x^2+1).\]
Ver solución

Aplicamos la regla de la cadena:

\[f'(x) = \cos(3x^2+1)(6x).\]

Por tanto:

\[f'(x) = 6x\cos(3x^2+1)\]
Ejemplo 40.9

Deriva:

\[f(x)=4\cot(2x).\]
Ver solución
\[f'(x) = 42.\]

Por tanto:

\[f'(x) = -8\csc^2(2x)\]

40.7 Funciones exponenciales y logarítmicas#

\[\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\]
\[\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln a\]
\[\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\]
\[\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x\ln a}\]

Con regla de la cadena:

\[\frac{d}{dx}(e^u) = e^u u'\]
\[\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{u'}{u}\]
\[\frac{d}{dx}(a^u) = a^u\ln(a)\,u'\]
Ejemplo 40.10

Deriva:

\[f(x)=e^{5x}.\]
Ver solución
\[f'(x) = e^{5x}(5).\]

Por tanto:

\[f'(x)=5e^{5x}\]
Ejemplo 40.11

Deriva:

\[f(x)=\ln(x^2+1).\]
Ver solución
\[f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}.\]

Por tanto:

\[f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}\]
Ejemplo 40.12

Deriva:

\[f(x)=2^{3x}.\]
Ver solución
\[f'(x) = 2^{3x}\ln2\,(3).\]

Por tanto:

\[f'(x) = 3\ln2\,2^{3x}\]

40.8 Resumen de reglas#

\[\begin{aligned} (c)'&=0,\\ (x^n)'&=nx^{n-1},\\ (cf)'&=cf',\\ (f\pm g)'&=f'\pm g',\\ (fg)'&=f'g+fg',\\ \left(\frac{f}{g}\right)' &= \frac{f'g-fg'}{g^2},\\ [f(g(x))]' &= f'(g(x))g'(x). \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} (\sen x)'&=\cos x,\\ (\cos x)'&=-\sen x,\\ (\tan x)'&=\sec^2x,\\ (e^x)'&=e^x,\\ (a^x)'&=a^x\ln a,\\ (\ln x)'&=\frac1x. \end{aligned}\]

40.9 Derivación implícita#

Cuando una ecuación contiene a \(x\) y \(y\) sin despejar, se deriva implícitamente.

Cada vez que se deriva una expresión con \(y\), debe multiplicarse por:

\[\frac{dy}{dx}.\]
Ejemplo 40.13

Encuentra:

\[\frac{dy}{dx}\]

si:

\[x^2+y^2=25.\]
Ver solución

Derivamos:

\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0.\]

Despejamos:

\[2y\frac{dy}{dx} = -2x.\]

Por tanto:

\[\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\]
Ejemplo 40.14

Encuentra:

\[\frac{dy}{dx}\]

si:

\[x^2+xy-y^2=4.\]
Ver solución

Derivamos término a término:

\[2x + \left( y+x\frac{dy}{dx} \right) - 2y\frac{dy}{dx} = 0.\]

Agrupamos:

\[2x+y + (x-2y)\frac{dy}{dx} = 0.\]

Despejamos:

\[(x-2y)\frac{dy}{dx} = -2x-y.\]

Por tanto:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{2x+y}{2y-x}\]
Advertencia

Al derivar el producto:

\[xy,\]

debe utilizarse la regla del producto:

\[\frac{d}{dx}(xy) = y+x\frac{dy}{dx}.\]

40.10 Recta tangente y recta normal#

Sea:

\[P(x_0,f(x_0)).\]

La pendiente tangente es:

\[m_t=f'(x_0)\]

La recta tangente es:

\[y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)\]

Si:

\[f'(x_0)\neq0,\]

la pendiente de la recta normal es:

\[m_n = -\frac{1}{f'(x_0)}\]
Ejemplo 40.15

Encuentra la recta tangente a:

\[f(x)=x^2\]

en:

\[x=2.\]
Ver solución

El punto es:

\[P(2,4).\]

Derivamos:

\[f'(x)=2x.\]

La pendiente en \(x=2\) es:

\[f'(2)=4.\]

Utilizamos la forma punto-pendiente:

\[y-4 = 4(x-2).\]

Por tanto:

\[y=4x-4\]

40.11 Razón de cambio#

Si una posición está dada por:

\[s(t),\]

entonces la velocidad instantánea es:

\[v(t)=s'(t)\]

La aceleración es:

\[a(t)=v'(t)=s''(t).\]
Ejemplo 40.16

La posición de una partícula es:

\[s(t)=t^3-6t^2+9t.\]

Encuentra la velocidad y la aceleración.

Ver solución

La velocidad es:

\[v(t) = s'(t) = 3t^2-12t+9.\]

La aceleración es:

\[a(t) = v'(t) = 6t-12.\]

Por tanto:

\[v(t)=3t^2-12t+9\]

y:

\[a(t)=6t-12\]

40.12 Derivadas sucesivas#

La segunda derivada es:

\[f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)].\]

También se escribe:

\[\frac{d^2y}{dx^2}.\]

Las derivadas posteriores se representan mediante:

\[f'''(x), \qquad f^{(4)}(x), \qquad \dots, \qquad f^{(n)}(x).\]
Ejemplo 40.17

Encuentra la segunda derivada de:

\[f(x)=x^4-3x^2+2x-5.\]
Ver solución

Primera derivada:

\[f'(x)=4x^3-6x+2.\]

Segunda derivada:

\[f''(x)=12x^2-6\]
Ejemplo 40.18

Encuentra:

\[f^{(5)}(x)\]

si:

\[f(x)=e^{2x}.\]
Ver solución

Cada derivada introduce un factor \(2\):

\[f^{(n)}(x)=2^n e^{2x}.\]

Por tanto:

\[f^{(5)}(x)=32e^{2x}\]

40.13 Procedimiento rápido#

  1. Simplifica la función si es posible.

  2. Identifica la operación principal:

    • suma o resta;
    • producto;
    • cociente;
    • composición.
  3. Selecciona la regla correspondiente.
  4. Si existe una función dentro de otra, aplica la regla de la cadena.
  5. Simplifica la derivada.
  6. Verifica el dominio de la función original.
Figura 40.4

40.14 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

  • En la regla de la potencia, el exponente disminuye en una unidad: \[x^n\longrightarrow nx^{n-1}.\]
  • La derivada de una constante es cero.
  • La derivada de un producto no es el producto de las derivadas.
  • La derivada de un cociente no es el cociente de las derivadas.
  • En una función compuesta debe incluirse la derivada de la función interior.
  • Se cumple: \[(\cos x)'=-\sen x.\]
  • Se cumple: \[(\ln u)'=\frac{u'}{u},\] no solamente \(1/u\).
  • En derivación implícita, cada derivada de \(y\) incluye: \[\frac{dy}{dx}.\]
  • Las fórmulas trigonométricas de derivación suponen que los ángulos se expresan en radianes.

40.15 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 40.1

Deriva:

\[f(x)=7x^3-4x^2+6x-1.\]
Ver solución

Derivamos término a término: \[f'(x)=21x^2-8x+6.\]

Ejercicio 40.2

Deriva:

\[f(x)=\frac{3x+2}{x-1}.\]
Ver solución

Aplicamos la regla del cociente: \[f'(x)=\frac{3(x-1)-(3x+2)(1)}{(x-1)^2}=\frac{3x-3-3x-2}{(x-1)^2}=-\frac{5}{(x-1)^2}.\]

Ejercicio 40.3

Deriva:

\[f(x)=(x^2+1)(2x-3).\]
Ver solución

Aplicamos la regla del producto: \[f'(x)=(2x)(2x-3)+(x^2+1)(2)=4x^2-6x+2x^2+2=6x^2-6x+2.\]

Ejercicio 40.4

Deriva:

\[f(x)=\sen(2x)+\cos(3x).\]
Ver solución

Aplicamos las reglas trigonométricas con regla de la cadena: \[f'(x)=2\cos(2x)-3\sen(3x).\]

Ejercicio 40.5

Deriva:

\[f(x)=\tan x\,\sen x.\]
Ver solución

Aplicamos la regla del producto: \[f'(x)=\sec^2 x\sen x+\tan x\cos x.\] (Esto puede simplificarse a \(\sec x\tan x+\sen x\)).

Ejercicio 40.6

Deriva:

\[f(x)=\ln(x^3+2x).\]
Ver solución

Aplicamos la regla del logaritmo: \[f'(x)=\frac{3x^2+2}{x^3+2x}.\]

Ejercicio 40.7

Deriva:

\[f(x)=e^{x^2+1}.\]
Ver solución

Aplicamos la regla exponencial con regla de la cadena: \[f'(x)=e^{x^2+1}(2x)=2x e^{x^2+1}.\]

Ejercicio 40.8

Deriva:

\[f(x)=(3x^2-1)^5.\]
Ver solución

Aplicamos la regla de la cadena (potencia): \[f'(x)=5(3x^2-1)^4(6x)=30x(3x^2-1)^4.\]

Ejercicio 40.9

Deriva:

\[f(x)=\sqrt{2x^2+5}.\]
Ver solución

Escribimos \(f(x)=(2x^2+5)^{1/2}\) y aplicamos regla de la cadena: \[f'(x)=\frac{1}{2}(2x^2+5)^{-1/2}(4x)=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+5}}.\]

Ejercicio 40.10

Encuentra:

\[\frac{dy}{dx}\]

si:

\[x^2+y^2=16.\]
Ver solución

Derivamos implícitamente: \[2x+2y\frac{dy}{dx}=0.\] Despejando: \[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.\]

Ejercicio 40.11

Encuentra la recta tangente a:

\[f(x)=x^3-2x\]

en:

\[x=1.\]
Ver solución

El punto es \((1,f(1))=(1,-1)\). La derivada es \(f'(x)=3x^2-2\), por lo que la pendiente es \(m_t=f'(1)=1\). La recta tangente es \(y-(-1)=1(x-1)\), lo que da \(y=x-2\).

Ejercicio 40.12

Encuentra la segunda derivada de:

\[f(x)=x^5-2x^3+x.\]
Ver solución

Calculamos la primera derivada: \[f'(x)=5x^4-6x^2+1.\] Calculamos la segunda derivada: \[f''(x)=20x^3-12x.\]