Capítulo 47

Probabilidad básica

IPN CENEVAL

La probabilidad mide la posibilidad de que ocurra un evento en un experimento aleatorio.

En este capítulo aprenderás a:

construir espacios muestrales;
calcular probabilidades simples;
utilizar las reglas de la suma y del producto;
calcular probabilidades condicionales;
distinguir eventos excluyentes e independientes;
interpretar diagramas de árbol.

47.1 Experimentos aleatorios#

Definición

Un experimento aleatorio es un procedimiento cuyo resultado no puede conocerse con certeza antes de realizarlo.

El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral y se representa mediante:

\[\Omega.\]

Cada resultado individual se denomina punto muestral.

Ejemplo 47.1

Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos.

Lanzar una moneda.
Lanzar un dado de seis caras.
Lanzar dos monedas.

Ver solución

Si \(A\) representa águila y \(S\) representa sol:

\[\Omega_1 = \{A,S\}.\]

Para el dado:

\[\Omega_2 = \{1,2,3,4,5,6\}.\]

Para dos monedas:

\[\Omega_3 = \{AA,AS,SA,SS\}.\]

Nota

Los resultados:

\[AS \qquad\text{y}\qquad SA\]

son diferentes porque representan órdenes distintos.

47.2 Eventos#

Definición

Un evento o suceso es un subconjunto del espacio muestral.

Los eventos principales son:

Evento elemental: contiene un solo resultado.
Evento seguro: coincide con todo el espacio muestral.
Evento imposible: no contiene resultados.
Evento complemento: contiene los resultados que no pertenecen al evento original.

El complemento de \(A\) se representa mediante:

\[A^c\]

\[\overline{A}.\]

47.2.1 Unión e intersección#

La unión:

\[A\cup B\]

contiene los resultados que pertenecen a \(A\), a \(B\) o a ambos.

La intersección:

\[A\cap B\]

contiene los resultados que pertenecen simultáneamente a \(A\) y a \(B\).

Ejemplo 47.2

Al lanzar un dado, sean:

\[A = \{2,4,6\}\]

\[B = \{5,6\}.\]

Determina la unión, la intersección y el complemento de \(A\).

Ver solución

La unión es:

\[A\cup B = \{2,4,5,6\}.\]

La intersección es:

\[A\cap B = \{6\}.\]

El complemento de \(A\) es:

\[A^c = \{1,3,5\}.\]

47.3 Eventos mutuamente excluyentes#

Definición

Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Por tanto:

\[A\cap B = \varnothing.\]

Por ejemplo, al lanzar un dado, los eventos:

\[A=\{\text{obtener un número par}\}\]

\[B=\{\text{obtener un número impar}\}\]

son mutuamente excluyentes.

Advertencia

Los eventos mutuamente excluyentes no son necesariamente independientes.

Si un evento ocurre y eso impide que ocurra el otro, existe una dependencia entre ellos.

47.4 Probabilidad clásica#

Si todos los resultados son igualmente probables:

\[P(A) = \frac{ \text{casos favorables} }{ \text{casos posibles} }.\]

También puede escribirse:

\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.\]

Advertencia

La fórmula clásica solo puede utilizarse directamente cuando los resultados del espacio muestral son igualmente probables.

47.4.1 Propiedades básicas#

Para cualquier evento \(A\):

\[0\leq P(A)\leq1.\]

Además:

\[P(\Omega)=1,\]

\[P(\varnothing)=0.\]

La probabilidad del complemento es:

\[P(A^c) = 1-P(A).\]

Ejemplo 47.3

Al lanzar un dado, calcula la probabilidad de:

obtener un número par;
obtener un número mayor que \(4\);
obtener un \(7\).

Ver solución

El espacio muestral es:

\[\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}.\]

Para obtener un número par:

\[A = \{2,4,6\}.\]

Por tanto:

\[P(A) = \frac36 = \frac12.\]

Para obtener un número mayor que \(4\):

\[B = \{5,6\}.\]

Por tanto:

\[P(B) = \frac26 = \frac13.\]

Obtener un \(7\) es imposible:

\[P(\{7\})=0.\]

Ejemplo 47.4

Una urna contiene:

\[5\text{ canicas rojas}, \qquad 3\text{ azules}, \qquad 2\text{ verdes}.\]

Calcula la probabilidad de extraer una canica roja o azul.

Ver solución

El total es:

\[5+3+2=10.\]

Los casos favorables son:

\[5+3=8.\]

Por tanto:

\[P(\text{roja o azul}) = \frac{8}{10} = \frac45.\]

47.5 Regla de la suma#

Para dos eventos cualesquiera:

\[P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B).\]

Se resta la intersección porque fue contada dos veces.

Si los eventos son mutuamente excluyentes:

\[P(A\cap B)=0,\]

por lo que:

\[P(A\cup B) = P(A)+P(B).\]

Ejemplo 47.5

Al lanzar un dado, sean:

\[A=\{2,4,6\}\]

\[B=\{5,6\}.\]

Calcula:

\[P(A\cup B).\]

Ver solución

\[P(A)=\frac36,\]

\[P(B)=\frac26,\]

\[P(A\cap B)=\frac16.\]

Aplicamos la regla:

\[P(A\cup B) = \frac36+\frac26-\frac16.\]

Por tanto:

\[P(A\cup B) = \frac46 = \frac23.\]

Ejemplo 47.6

En una clase de \(30\) estudiantes:

\(18\) aprueban Matemáticas;
\(15\) aprueban Física;
\(8\) aprueban ambas materias.

Calcula la probabilidad de que un estudiante apruebe al menos una materia.

Ver solución

El número de estudiantes que aprueba al menos una es:

\[18+15-8=25.\]

Por tanto:

\[P(M\cup F) = \frac{25}{30} = \frac56.\]

47.6 Regla del complemento#

En algunos problemas es más fácil calcular que un evento no ocurra.

\[P(A^c) = 1-P(A).\]

La regla del complemento es especialmente útil en expresiones como:

al menos uno;
ninguno;
no ocurra;
uno o más.

Ejemplo 47.7

Se lanza un dado cuatro veces. Calcula la probabilidad de obtener al menos un \(6\).

Ver solución

Es más sencillo calcular la probabilidad de no obtener ningún \(6\).

En un lanzamiento:

\[P(\text{no obtener }6) = \frac56.\]

Los cuatro lanzamientos son independientes:

\[P(\text{ningún }6) = \left(\frac56\right)^4.\]

Por tanto:

\[P(\text{al menos un }6) = 1-\left(\frac56\right)^4.\]

47.7 Probabilidad condicional#

La probabilidad condicional de \(A\) dado que ocurrió \(B\) es:

\[P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)},\]

si:

\[P(B)>0.\]

Al conocer que ocurrió \(B\), el nuevo espacio muestral se reduce a los resultados de \(B\).

Ejemplo 47.8

Se lanza un dado. Si se sabe que el resultado es par, calcula la probabilidad de que sea mayor que \(3\).

Ver solución

El evento conocido es:

\[B = \{2,4,6\}.\]

Dentro de este nuevo espacio, los resultados mayores que \(3\) son:

\[\{4,6\}.\]

Por tanto:

\[P(A\mid B) = \frac23.\]

También puede calcularse mediante:

\[P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{2/6}{3/6} = \frac23.\]

47.8 Regla del producto#

Para eventos dependientes:

\[P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A).\]

Equivalentemente:

\[P(A\cap B) = P(B)P(A\mid B).\]

Si los eventos son independientes:

\[P(A\cap B) = P(A)P(B).\]

Ejemplo 47.9

Se lanza una moneda dos veces. Calcula la probabilidad de obtener dos águilas.

Ver solución

Los lanzamientos son independientes.

\[P(A)=\frac12.\]

Por tanto:

\[P(AA) = \frac12\left(\frac12\right).\]

\[P(AA) = \frac14.\]

Ejemplo 47.10

Una urna contiene \(4\) canicas rojas y \(6\) blancas. Se extraen dos canicas sin reemplazo.

Calcula la probabilidad de que ambas sean rojas.

Ver solución

La probabilidad de que la primera sea roja es:

\[P(R_1) = \frac4{10}.\]

Después de extraer una roja quedan \(3\) rojas entre \(9\) canicas:

\[P(R_2\mid R_1) = \frac39.\]

Aplicamos la regla del producto:

\[P(R_1\cap R_2) = \frac4{10}\left(\frac39\right).\]

Por tanto:

\[P(R_1\cap R_2) = \frac{12}{90} = \frac2{15}.\]

47.9 Eventos independientes#

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro.

Las condiciones equivalentes son:

\[P(A\mid B)=P(A)\]

\[P(A\cap B) = P(A)P(B).\]

Concepto	Condición	Significado
Excluyentes	\(A\cap B=\varnothing\)	No ocurren juntos
Independientes	\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)	Uno no afecta al otro

Advertencia

Los términos excluyentes e independientes no significan lo mismo.

Si dos eventos con probabilidad positiva son excluyentes, entonces no pueden ser independientes.

47.10 Experimentos con y sin reemplazo#

47.10.1 Con reemplazo#

El objeto seleccionado regresa al conjunto antes de la siguiente extracción.

Las probabilidades normalmente permanecen iguales.

47.10.2 Sin reemplazo#

El objeto seleccionado no regresa al conjunto.

El total de objetos y las probabilidades cambian.

Extracción	Total	Relación
Con reemplazo	Permanece igual	Generalmente independiente
Sin reemplazo	Disminuye	Generalmente dependiente

47.11 Diagramas de árbol#

Un diagrama de árbol representa experimentos realizados en varias etapas.

Para utilizarlo:

multiplica las probabilidades a lo largo de una ruta;
suma las probabilidades de las rutas favorables.

Ejemplo 47.11

Una urna contiene \(3\) canicas rojas y \(2\) azules. Se extraen dos canicas sin reemplazo.

Calcula la probabilidad de obtener una roja y una azul, en cualquier orden.

Ver solución

El diagrama es:

Las rutas favorables son:

\[RA \qquad\text{y}\qquad AR.\]

Por tanto:

\[P(\text{una roja y una azul}) = P(RA)+P(AR).\]

\[= \frac3{10}+\frac3{10}.\]

Así:

\[P(\text{una roja y una azul}) = \frac35.\]

47.12 Procedimiento rápido#

Identifica el experimento.
Construye el espacio muestral si es necesario.
Define claramente los eventos.
Decide si se requiere:
- suma;
- producto;
- complemento;
- probabilidad condicional.
Verifica si los eventos son independientes.
Revisa si existe reemplazo.
Simplifica la fracción y comprueba que: \[0\leq P(A)\leq1.\]

Palabras clave#

Expresión	Operación probable
\(A\) o \(B\)	Unión
\(A\) y \(B\)	Intersección
No ocurra \(A\)	Complemento
\(A\) dado \(B\)	Probabilidad condicional
Al menos uno	Complemento
En cualquier orden	Sumar rutas favorables

47.13 Resumen#

Probabilidad clásica:

\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.\]

Complemento:

\[P(A^c) = 1-P(A).\]

Regla de la suma:

\[P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B).\]

Probabilidad condicional:

\[P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]

Regla del producto:

\[P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A).\]

Eventos independientes:

\[P(A\cap B) = P(A)P(B).\]

Eventos mutuamente excluyentes:

\[A\cap B = \varnothing.\]

47.14 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

La fórmula clásica requiere resultados igualmente probables.
En la regla de la suma debe restarse la intersección.
Los eventos excluyentes no son lo mismo que los eventos independientes.
La probabilidad condicional modifica el espacio muestral.
Sin reemplazo, las probabilidades cambian.
Con reemplazo, el total vuelve a ser el original.
En un árbol se multiplican probabilidades a lo largo de una ruta.
Si existen varias rutas favorables, sus probabilidades se suman.
Toda probabilidad debe encontrarse entre \(0\) y \(1\).
Si el resultado es un porcentaje, debe multiplicarse por: \[100\%.\]

47.15 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 47.1

Describe el espacio muestral de lanzar dos dados de seis caras.

Determina el número total de resultados posibles.

Ver solución

\(\Omega = \{(1,1), (1,2), \dots, (6,6)\}\). El número total de resultados es \(6 \times 6 = 36\).

Ejercicio 47.2

Al lanzar un dado, calcula la probabilidad de obtener:

un número impar;
un número menor que \(3\);
un número primo.

Ver solución

\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). 1. Impar \(\{1,3,5\}\): \(P = 3/6 = 1/2\). 2. Menor que \(3\) \(\{1,2\}\): \(P = 2/6 = 1/3\). 3. Primo \(\{2,3,5\}\): \(P = 3/6 = 1/2\).

Ejercicio 47.3

De una baraja inglesa de \(52\) cartas se extrae una carta al azar.

Calcula la probabilidad de obtener:

un as;
una carta roja;
una figura: J, Q o K.

Ver solución

1. As (hay \(4\)): \(P = 4/52 = 1/13\). 2. Carta roja (hay \(26\)): \(P = 26/52 = 1/2\). 3. Figura (\(3\) por palo, en total \(12\)): \(P = 12/52 = 3/13\).

Ejercicio 47.4

Una urna contiene:

\[6\text{ bolas rojas}, \qquad 4\text{ azules}, \qquad 5\text{ verdes}.\]

Calcula la probabilidad de que una bola elegida al azar no sea verde.

Ver solución

Total \(= 6 + 4 + 5 = 15\). Las no verdes son rojas o azules: \(6 + 4 = 10\). \(P(\text{no verde}) = 10/15 = 2/3\).

Ejercicio 47.5

Sean \(A\) y \(B\) dos eventos con:

\[P(A)=0.5,\]

\[P(B)=0.4\]

\[P(A\cap B)=0.2.\]

Calcula:

\[P(A\cup B).\]

Ver solución

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7\).

Ejercicio 47.6

En una escuela:

\[P(I)=0.60,\]

\[P(H)=0.50\]

\[P(I\cap H)=0.30.\]

Calcula la probabilidad de que un estudiante apruebe al menos una de las dos materias.

Ver solución

\(P(I \cup H) = P(I) + P(H) - P(I \cap H) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80\).

Ejercicio 47.7

Se lanza un dado. Si se sabe que el resultado es mayor que \(2\), calcula la probabilidad de que sea par.

Ver solución

\(B = \{3,4,5,6\}\) y \(A \cap B = \{4,6\}\). \(P(A \mid B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Ejercicio 47.8

Una caja contiene \(5\) focos buenos y \(2\) defectuosos.

Se extraen dos focos sin reemplazo.

Calcula la probabilidad de que ambos sean buenos.

Ver solución

Total \(= 7\). \(P(B_1 \cap B_2) = P(B_1)P(B_2 \mid B_1) = \left(\frac{5}{7}\right)\left(\frac{4}{6}\right) = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}\).

Ejercicio 47.9

Se lanza una moneda tres veces.

Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos águilas.

Ver solución

Los \(8\) resultados posibles son: \(AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS\). Casos con exactamente dos águilas: \(AAS, ASA, SAA\). Por tanto, \(P = 3/8\).

Ejercicio 47.10

En una ciudad:

\[P(A)=0.40,\]

\[P(M)=0.25\]

\[P(A\cap M)=0.10.\]

Calcula:

la probabilidad de que una persona tenga automóvil o motocicleta;
la probabilidad de que tenga motocicleta, sabiendo que tiene automóvil.

Ver solución

1. \(P(A \cup M) = P(A) + P(M) - P(A \cap M) = 0.40 + 0.25 - 0.10 = 0.55\). 2. \(P(M \mid A) = \frac{P(A \cap M)}{P(A)} = \frac{0.10}{0.40} = 0.25\).

Ejercicio 47.11

Una urna contiene \(4\) bolas blancas y \(3\) negras.

Se extraen dos bolas con reemplazo.

Calcula la probabilidad de obtener dos bolas negras.

Ver solución

Con reemplazo, los eventos son independientes. \(P(N_1 \cap N_2) = \left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{3}{7}\right) = \frac{9}{49}\).

Ejercicio 47.12

Una urna contiene \(4\) bolas blancas y \(3\) negras.

Se extraen dos bolas sin reemplazo.

Calcula la probabilidad de obtener dos bolas negras y compara el resultado con el ejercicio anterior.

Ver solución

Sin reemplazo, el segundo evento depende del primero. \(P(N_1 \cap N_2) = \left(\frac{3}{7}\right)\left(\frac{2}{6}\right) = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}\). La probabilidad disminuye con respecto al caso con reemplazo, ya que \(\frac{1}{7} = \frac{7}{49} < \frac{9}{49}\).