Capítulo 49

Sucesiones y series

IPN CENEVAL

Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue una regla.

Una serie es la suma de los términos de una sucesión.

En este capítulo aprenderás a:

encontrar términos de una sucesión;
reconocer sucesiones aritméticas y geométricas;
calcular sumas finitas;
determinar si una serie geométrica infinita converge;
utilizar la notación sigma.

49.1 Sucesiones#

Definición

Una sucesión es una lista ordenada de números:

\[a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots\]

El número $a_n$ se llama término general o término en la posición $n$.

Una sucesión puede definirse mediante una fórmula explícita:

\[a_n=f(n),\]

donde:

\[n=1,2,3,\ldots\]

Ejemplo 49.1

Escribe los primeros cinco términos de:

\[a_n=2n+1.\]

Ver solución

Sustituimos:

\[n=1,2,3,4,5.\]

\[a_1=2(1)+1=3,\]

\[a_2=2(2)+1=5,\]

\[a_3=2(3)+1=7,\]

\[a_4=2(4)+1=9,\]

\[a_5=2(5)+1=11.\]

Por tanto, la sucesión es:

\[3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ldots\]

Ejemplo 49.2

Encuentra una fórmula para la sucesión:

\[4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ldots\]

Ver solución

Cada término aumenta en:

\[3.\]

La sucesión puede escribirse como:

\[a_n=3n+1.\]

Verificamos:

\[a_1=3(1)+1=4,\]

\[a_2=3(2)+1=7.\]

Por tanto:

\[a_n=3n+1.\]

49.2 Sucesiones recursivas#

Una sucesión también puede definirse a partir de sus términos anteriores.

Por ejemplo:

\[a_1=2,\]

\[a_n=a_{n-1}+3, \qquad n\geq2.\]

Esta regla produce:

\[2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots\]

Nota

Una fórmula explícita permite calcular directamente cualquier término.

Una fórmula recursiva requiere conocer uno o más términos anteriores.

49.3 Sucesiones aritméticas#

Definición

Una sucesión es aritmética si la diferencia entre términos consecutivos es constante.

Esta constante se llama diferencia común y se representa mediante:

\[d.\]

La diferencia común se calcula con:

\[d=a_{n+1}-a_n.\]

Por ejemplo, en:

\[5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots\]

se cumple:

\[8-5=3,\]

\[11-8=3,\]

\[14-11=3.\]

Por tanto:

\[d=3.\]

49.3.1 Término general#

Si el primer término es $a_1$ y la diferencia común es $d$, entonces:

\[a_n = a_1+(n-1)d.\]

49.3.2 Suma de los primeros términos#

La suma de los primeros $n$ términos es:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n).\]

También puede utilizarse:

\[S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a_1+(n-1)d \right].\]

Ejemplo 49.3

En la sucesión:

\[5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots\]

calcula:

\[a_{20}\]

\[S_{20}.\]

Ver solución

Identificamos:

\[a_1=5, \qquad d=3.\]

Calculamos el término número $20$:

\[a_{20} = 5+(20-1)(3).\]

\[a_{20} = 5+57.\]

Por tanto:

\[a_{20}=62.\]

Ahora calculamos la suma:

\[S_{20} = \frac{20}{2}(5+62).\]

\[S_{20} = 10(67).\]

Por tanto:

\[S_{20}=670.\]

Ejemplo 49.4

La suma de los primeros $10$ términos de una sucesión aritmética es:

\[S_{10}=155.\]

Además:

\[a_1=2.\]

Encuentra la diferencia común.

Ver solución

Utilizamos:

\[S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a_1+(n-1)d \right].\]

Sustituimos:

\[155 = \frac{10}{2} \left[ 2(2)+9d \right].\]

\[155 = 5(4+9d).\]

Dividimos entre $5$:

\[31=4+9d.\]

\[27=9d.\]

Por tanto:

\[d=3.\]

49.4 Sucesiones geométricas#

Definición

Una sucesión es geométrica si el cociente entre términos consecutivos es constante.

Esta constante se llama razón común y se representa mediante:

\[r.\]

La razón se calcula con:

\[r = \frac{a_{n+1}}{a_n},\]

siempre que:

\[a_n\neq0.\]

Por ejemplo, en:

\[3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots\]

se cumple:

\[\frac63=2,\]

\[\frac{12}{6}=2,\]

\[\frac{24}{12}=2.\]

Por tanto:

\[r=2.\]

49.4.1 Término general#

Si el primer término es $a_1$ y la razón común es $r$, entonces:

\[a_n = a_1r^{n-1}.\]

49.4.2 Suma de los primeros términos#

Si:

\[r\neq1,\]

entonces:

\[S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}.\]

Equivalentemente:

\[S_n = a_1 \frac{r^n-1}{r-1}.\]

Si:

\[r=1,\]

entonces:

\[S_n=na_1.\]

Ejemplo 49.5

En la sucesión:

\[3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots\]

calcula:

\[a_8\]

\[S_8.\]

Ver solución

Identificamos:

\[a_1=3, \qquad r=2.\]

Calculamos el término número $8$:

\[a_8 = 3(2)^{8-1}.\]

\[a_8 = 3(2^7).\]

\[a_8 = 3(128).\]

Por tanto:

\[a_8=384.\]

Ahora calculamos la suma:

\[S_8 = 3 \frac{2^8-1}{2-1}.\]

\[S_8 = 3(256-1).\]

Por tanto:

\[S_8=765.\]

Ejemplo 49.6

En una sucesión geométrica:

\[a_3=12\]

\[a_6=96.\]

Encuentra $a_1$ y $r$.

Ver solución

Utilizamos:

\[a_n=a_1r^{n-1}.\]

Entonces:

\[a_3=a_1r^2=12\]

\[a_6=a_1r^5=96.\]

Dividimos las ecuaciones:

\[\frac{a_1r^5}{a_1r^2} = \frac{96}{12}.\]

\[r^3=8.\]

Por tanto:

\[r=2.\]

Sustituimos en:

\[a_1r^2=12.\]

\[a_1(2^2)=12.\]

\[4a_1=12.\]

Por tanto:

\[a_1=3.\]

49.5 Aritmética o geométrica#

Característica	Aritmética	Geométrica
Operación repetida	Sumar $d$	Multiplicar por $r$
Relación	$a_{n+1}-a_n=d$	$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r$
Término general	$a_1+(n-1)d$	$a_1r^{n-1}$
Cambio	Lineal	Exponencial

Advertencia

En una sucesión aritmética se busca una diferencia constante.

En una sucesión geométrica se busca una razón constante.

49.6 Series finitas#

Una serie es la suma de los términos de una sucesión.

Por ejemplo, si:

\[a_n=2n,\]

la suma de los primeros cuatro términos es:

\[S_4 = 2+4+6+8.\]

Por tanto:

\[S_4=20.\]

Se utiliza la notación:

\[S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n.\]

Nota

Una sucesión es una lista de términos.

Una serie es la suma de esos términos.

49.7 Series geométricas infinitas#

Una serie infinita tiene la forma:

\[a_1+a_2+a_3+\cdots\]

\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n.\]

Una serie converge si sus sumas parciales se aproximan a un número finito.

Si no se aproximan a un número finito, la serie diverge.

Para una serie geométrica:

\[a_1+a_1r+a_1r^2+a_1r^3+\cdots,\]

se cumple:

\[S = \frac{a_1}{1-r}\]

si:

\[|r|<1.\]

Si:

\[|r|\geq1,\]

la serie geométrica diverge.

Condición	Comportamiento
$\|r\|<1$	La serie converge
$\|r\|\geq1$	La serie diverge

Ejemplo 49.7

Calcula:

\[1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots\]

Ver solución

Es una serie geométrica con:

\[a_1=1\]

\[r=\frac12.\]

Como:

\[\left|\frac12\right|<1,\]

la serie converge.

Aplicamos:

\[S = \frac{a_1}{1-r}.\]

\[S = \frac{1}{1-\frac12}.\]

Por tanto:

\[S=2.\]

Ejemplo 49.8

Determina si converge:

\[\sum_{n=1}^{\infty} 3 \left( \frac23 \right)^{n-1}.\]

Ver solución

Identificamos:

\[a_1=3\]

\[r=\frac23.\]

Como:

\[\left|\frac23\right|<1,\]

la serie converge.

Calculamos:

\[S = \frac{3}{1-\frac23}.\]

\[S = \frac{3}{\frac13}.\]

Por tanto:

\[S=9.\]

Ejemplo 49.9

Determina si converge:

\[2+6+18+54+\cdots\]

Ver solución

La razón es:

\[r=3.\]

Como:

\[|3|\geq1,\]

la serie diverge.

49.8 Sumas parciales#

La suma parcial número $n$ es:

\[S_n = a_1+a_2+\cdots+a_n.\]

Una serie infinita converge a $S$ si:

\[S_n\longrightarrow S\]

cuando:

\[n\longrightarrow\infty.\]

Para la serie:

\[1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots,\]

las primeras sumas parciales son:

\[S_1=1,\]

\[S_2=\frac32,\]

\[S_3=\frac74,\]

\[S_4=\frac{15}{8}.\]

Estos valores se aproximan a:

\[2.\]

49.9 Notación sigma#

La letra griega sigma mayúscula:

\[\sum\]

se utiliza para representar sumas.

La expresión:

\[\sum_{k=1}^{n}a_k\]

significa:

\[a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n.\]

En:

\[\sum_{k=1}^{n}a_k,\]

se tiene:

$k$: índice de la suma;
$1$: valor inicial;
$n$: valor final;
$a_k$: término que se suma.

Ejemplo 49.10

Desarrolla:

\[\sum_{k=1}^{4}(2k+1).\]

Ver solución

Sustituimos:

\[k=1,2,3,4.\]

\[\sum_{k=1}^{4}(2k+1) = 3+5+7+9.\]

Por tanto:

\[\sum_{k=1}^{4}(2k+1) = 24.\]

49.10 Propiedades de las sumatorias#

Si $c$ es una constante:

\[\sum_{k=1}^{n}c = cn.\]

Además:

\[\sum_{k=1}^{n} ca_k = c \sum_{k=1}^{n}a_k.\]

Para sumas y restas:

\[\sum_{k=1}^{n} (a_k\pm b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k.\]

Las fórmulas básicas son:

\[\sum_{k=1}^{n}1 = n,\]

\[\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2},\]

\[\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

También:

\[\sum_{k=1}^{n}k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2.\]

Ejemplo 49.11

Calcula:

\[\sum_{k=1}^{10}(2k+1).\]

Ver solución

Separamos la suma:

\[\sum_{k=1}^{10}(2k+1) = 2\sum_{k=1}^{10}k + \sum_{k=1}^{10}1.\]

Aplicamos las fórmulas:

\[= 2 \left( \frac{10(11)}{2} \right) + 10.\]

\[= 110+10.\]

Por tanto:

\[\sum_{k=1}^{10}(2k+1) = 120.\]

Ejemplo 49.12

Calcula:

\[\sum_{k=1}^{5}(k^2+2k).\]

Ver solución

Separamos:

\[\sum_{k=1}^{5}(k^2+2k) = \sum_{k=1}^{5}k^2 + 2\sum_{k=1}^{5}k.\]

Aplicamos las fórmulas:

\[= \frac{5(6)(11)}{6} + 2 \left( \frac{5(6)}{2} \right).\]

\[= 55+30.\]

Por tanto:

\[\sum_{k=1}^{5}(k^2+2k) = 85.\]

49.11 Aplicaciones de las sucesiones#

49.11.1 Crecimiento lineal#

Si una cantidad aumenta siempre en la misma cantidad, puede modelarse mediante una sucesión aritmética.

Ejemplo 49.13

Una persona ahorra:

\[\$200\]

el primer mes y aumenta su ahorro mensual en:

\[\$50\]

cada mes.

¿Cuánto ahorra durante el mes número $12$?

Ver solución

Es una sucesión aritmética con:

\[a_1=200\]

\[d=50.\]

Entonces:

\[a_{12} = 200+(12-1)(50).\]

\[a_{12} = 200+550.\]

Por tanto:

\[a_{12}=750.\]

49.11.2 Crecimiento geométrico#

Si una cantidad se multiplica siempre por el mismo factor, puede modelarse mediante una sucesión geométrica.

Ejemplo 49.14

Una población inicial de bacterias es:

\[500.\]

La población se duplica cada hora.

¿Cuántas bacterias habrá después de $6$ horas?

Ver solución

Si el valor inicial corresponde a la hora $0$, entonces:

\[P_n = 500(2)^n.\]

Después de $6$ horas:

\[P_6 = 500(2)^6.\]

\[P_6 = 500(64).\]

Por tanto:

\[P_6=32{,}000.\]

Advertencia

En problemas de crecimiento debe identificarse con cuidado si el valor inicial corresponde a:

\[n=0\]

o a:

\[n=1.\]

Esto modifica el exponente.

49.12 Procedimiento rápido#

Para identificar el tipo de sucesión#

Calcula las diferencias entre términos consecutivos.
Si las diferencias son constantes, la sucesión es aritmética.
Si no lo son, calcula los cocientes.
Si los cocientes son constantes, la sucesión es geométrica.

Sucesión aritmética#

Identifica: \[a_1,\quad d,\quad n.\]
Calcula: \[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Si se solicita la suma, utiliza: \[S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n).\]

Sucesión geométrica#

Identifica: \[a_1,\quad r,\quad n.\]
Calcula: \[a_n=a_1r^{n-1}.\]
Si se solicita la suma, utiliza: \[S_n = a_1\frac{1-r^n}{1-r}.\]

Serie geométrica infinita#

Identifica: \[a_1 \qquad\text{y}\qquad r.\]
Verifica si: \[|r|<1.\]
Si converge, calcula: \[S=\frac{a_1}{1-r}.\]

49.13 Resumen#

Sucesión aritmética:

\[a_n = a_1+(n-1)d.\]

Suma aritmética:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1+a_n).\]

Sucesión geométrica:

\[a_n = a_1r^{n-1}.\]

Suma geométrica finita:

\[S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}, \qquad r\neq1.\]

Suma geométrica infinita:

\[S = \frac{a_1}{1-r}, \qquad |r|<1.\]

Sumas básicas:

\[\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2},\]

\[\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

49.14 Errores frecuentes#

Advertencia

Recuerda:

Una sucesión es una lista y una serie es una suma.
En una sucesión aritmética se calcula una diferencia.
En una sucesión geométrica se calcula un cociente.
El término general utiliza: \[n-1,\] no solamente $n$.
La diferencia común puede ser negativa.
La razón común puede ser negativa o fraccionaria.
Las dos fórmulas de la suma geométrica son equivalentes, pero no deben mezclarse sus signos.
Una serie geométrica infinita solo converge cuando: \[|r|<1.\]
Si: \[|r|\geq1,\] no puede utilizarse la fórmula de suma infinita.
En la notación sigma deben revisarse los límites inferior y superior.
En problemas aplicados debe identificarse si el conteo comienza en $n=0$ o en $n=1$.

49.15 Ejercicios propuestos#

Ejercicio 49.1

Escribe los primeros cinco términos de:

\[a_n=3n-2.\]

Ver solución

Sustituyendo $n=1, 2, 3, 4, 5$ en $a_n=3n-2$: \[a_1 = 1,\quad a_2 = 4,\quad a_3 = 7,\quad a_4 = 10,\quad a_5 = 13.\]

Ejercicio 49.2

Encuentra el término general de:

\[6,\ 11,\ 16,\ 21,\ 26,\ldots\]

Ver solución

La diferencia común es $d = 5$ y $a_1 = 6$, entonces \[a_n = 6 + (n - 1)(5) = 5n + 1.\]

Ejercicio 49.3

Determina si la sucesión es aritmética o geométrica:

\[2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots\]

Ver solución

El cociente entre términos consecutivos es constante ($6/2 = 3$, $18/6=3$). Por lo tanto, la sucesión es geométrica con razón $r=3$.

Ejercicio 49.4

En una sucesión aritmética:

\[a_1=4\]

\[d=5.\]

Calcula:

\[a_{15}\]

\[S_{15}.\]

Ver solución

\[a_{15} = 4 + (15 - 1)(5) = 4 + 70 = 74.\] \[S_{15} = \frac{15}{2}(4 + 74) = \frac{15 \cdot 78}{2} = 585.\]

Ejercicio 49.5

En una sucesión aritmética:

\[S_8=100\]

\[a_1=2.\]

Encuentra la diferencia común.

Ver solución

Con $S_8 = 100$, $a_1 = 2$ y $n = 8$: \[100 = \frac{8}{2}\left[ 2(2) + 7d \right] = 4(4 + 7d).\] \[25 = 4 + 7d \implies 7d = 21 \implies d = 3.\]

Ejercicio 49.6

En una sucesión geométrica:

\[a_1=5\]

\[r=3.\]

Calcula:

\[a_6\]

\[S_6.\]

Ver solución

\[a_6 = 5 \cdot 3^{5} = 5 \cdot 243 = 1215.\] \[S_6 = 5 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{728}{2} = 5 \cdot 364 = 1820.\]

Ejercicio 49.7

El segundo término de una sucesión geométrica es:

\[6\]

y el quinto término es:

\[162.\]

Encuentra $a_1$ y $r$.

Ver solución

$a_2 = a_1 r = 6$ y $a_5 = a_1 r^4 = 162$. Dividiendo: \[\frac{a_1 r^4}{a_1 r} = \frac{162}{6} \implies r^3 = 27 \implies r = 3.\] De $a_1 r = 6$: $a_1 (3) = 6 \implies a_1 = 2$.

Ejercicio 49.8

Calcula la suma de la serie infinita:

\[4+2+1+\frac12+\cdots\]

Ver solución

$a_1 = 4$ y $r = \dfrac{1}{2}$. Como $|r| < 1$: \[S = \frac{4}{1 - 1/2} = \frac{4}{1/2} = 8.\]

Ejercicio 49.9

Determina si converge:

\[\sum_{n=1}^{\infty} 5(0.8)^{n-1}.\]

Si converge, calcula su suma.

Ver solución

$a_1 = 5$ y $r = 0.8$. Como $|r| < 1$, la serie converge: \[S = \frac{5}{1 - 0.8} = \frac{5}{0.2} = 25.\]

Ejercicio 49.10

Determina si converge:

\[3+6+12+24+\cdots\]

Ver solución

La razón es $r=2$. Como $|r| \geq 1$, la serie diverge.

Ejercicio 49.11

Calcula:

\[\sum_{k=1}^{20}k.\]

Ver solución

\[\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210.\]

Ejercicio 49.12

Calcula:

\[\sum_{k=1}^{5}(k^2+2k).\]

Ver solución

\[\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 55, \qquad \sum_{k=1}^{5} 2k = 2 \cdot \frac{5 \cdot 6}{2} = 30.\] \[\sum_{k=1}^{5}(k^2 + 2k) = 55 + 30 = 85.\]

Ejercicio 49.13

Una persona deposita $\$500$ el primer mes y aumenta su depósito mensual en $\$100$.

Calcula el depósito del mes número $10$ y el total depositado durante los primeros $10$ meses.

Ver solución

Es una sucesión aritmética con $a_1 = 500$ y $d = 100$. \[a_{10} = 500 + 9(100) = 1400.\] \[S_{10} = \frac{10}{2}(500 + 1400) = 5(1900) = 9500.\] El depósito del mes 10 es $1,400 y el total depositado es $9,500.

Ejercicio 49.14

Una población inicial de $200$ bacterias se triplica cada hora.

Calcula la población después de $5$ horas.

Ver solución

La población inicial es de 200 y se triplica cada hora ($r=3$). Después de 5 horas: \[200 \cdot 3^5 = 200(243) = 48{,}600 \text{ bacterias}.\]

Característica	Aritmética	Geométrica
Operación repetida	Sumar \(d\)	Multiplicar por \(r\)
Relación	\(a_{n+1}-a_n=d\)	\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r\)
Término general	\(a_1+(n-1)d\)	\(a_1r^{n-1}\)
Cambio	Lineal	Exponencial